sujet : Antilles Guyane septembre 2014

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

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1. La valeur exacte de $\ln \left(10{\mathrm{e}}^2\right)$ est :

   $$\begin{array}{ccc}\ln \left(10{\mathrm{e}}^2\right)& =& \ln \left(10\right)+\ln \left({\mathrm{e}}^2\right)\hfill \\ & =& \ln \left(10\right)+2\ln \left(\mathrm{e}\right)\hfill \\ & =& \ln \left(10\right)+2\hfill \end{array}$$

   a.   $2\ln \left(10\right)+2$

   b.   4,302585093

   c.   $\ln \left(10\right)+2$

   d.   $2\ln \left(10\mathrm{e}\right)$

2. On désigne par n un nombre entier naturel. L'inégalité ${\mathrm{0,7}}^n⩽\mathrm{0,01}$ est réalisée dès que :

   $$\begin{array}{cccc}{\mathrm{0,7}}^n⩽\mathrm{0,01}& \iff & \ln \left({\mathrm{0,7}}^n\right)⩽\ln \mathrm{0,01}\hfill & \\ & \iff & n\ln \mathrm{0,7}⩽\ln \mathrm{0,01}\hfill & \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,01}}{\ln \mathrm{0,7}}}\hfill & \ln \mathrm{0,7}<0\end{array}$$

   a.   $n⩾12$

   b.   $n⩾13$

   c.   $n⩽13$

   d.   $n⩾70$

3. On considère la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{5x+2}$. L'expression $f\prime \left(x\right)$ de la dérivée de f est :

   a.   $f\prime \left(x\right)=5{\mathrm{e}}^{5x+2}$

   b.   $f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{5x+2}$

   c.   $f\prime \left(x\right)=2{\mathrm{e}}^{5x+2}$

   d.   $f\prime \left(x\right)=\left(5x+2\right){\mathrm{e}}^{5x+2}$

4. On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction f dans un repère du plan. La valeur de ${\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est :

   Par lecture graphique : ${\displaystyle \frac{1}{2}}<{\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<2$. La seule réponse qui convienne est la réponse a.

   a.   $\mathrm{e}-2$

   b.   2

   c.   ${\displaystyle \frac{1}{4}}$

   d.   $\ln \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$

5. La tangente au point d'abscisse 1 à la courbe ci-dessus, donnée à la question 4, a pour équation :

   Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1 est positif et, cette tangente coupe l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée négative. La seule réponse qui convienne est la réponse b.

   a.   $y=\mathrm{e}x+1$

   b.   $y=\mathrm{e}x-1$

   c.   $y=-\mathrm{e}x+1$

   d.   $y=-\mathrm{e}x+1$

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