sujet : Antilles Guyane septembre 2014

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Un producteur de légumes souhaite s'implanter dans une commune et livrer directement chez le consommateur des paniers de 5 kg de légumes variés labélisés « bio ».

partie a

Avant de se lancer, le producteur fait réaliser un sondage auprès de 2500 foyers de la commune ; 80 foyers se déclarent intéressés par l'achat d'un panier par mois.

1. Déterminer l'intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion de foyers de la commune susceptibles de passer commande d'un panier mensuel.

   La fréquence de foyers intéressés par l'achat d'un panier par mois dans l'échantillon est $f={\displaystyle \frac{80}{2500}}=\mathrm{0,032}$.

   Soit p la proportion inconnue de foyers intéressés par l'achat d'un panier par mois. Une estimation de cette proportion p peut être obtenue à l'aide de l'intervalle de confiance au niveau 0,95 qui est défini par : $$I_c=\left[f-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}};f+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}\right]$$ où f est la fréquence observée de foyers intéressés par l'achat d'un panier par mois dans l'échantillon de taille $n=2500$.

   Soit $$I_c=\left[\mathrm{0,032}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2500}}};\mathrm{0,032}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2500}}}\right]$$

   Un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion p de foyers intéressés par l'achat d'un panier par mois est $I_c=\left[\mathrm{0,012};\mathrm{0,052}\right]$.

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2. Quelle aurait dû être la taille de l'échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude 0,02 ?

   L'amplitude de l'intervalle de confiance au niveau 0,95 qui est défini par : $I_c=\left[f-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}};f+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}\right]$ est : $$\left(f+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}\right)-\left(f-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}\right)={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}$$

   La taille n de l'échantillon pour que l'amplitude de l'intervalle de confiance soit égale à 0,02 est solution de l'équation :$$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}=\mathrm{0,02}& \iff & {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}=\mathrm{0,01}\\ & \iff & \sqrt{n}=100\\ & \iff & n=10000\end{array}$$

   Pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude 0,02, il faudrait réaliser un sondage auprès de 10 000 foyers.

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3. La commune compte 15000 foyers. La condition pour démarrer l'entreprise est de réaliser une recette minimale de 3500 euros par mois. Sachant que les paniers seront vendus 20 euros l'un, le producteur peut-il envisager de se lancer ? Justifier la réponse.

   Au niveau de confiance 0,95, la proportion p de foyers intéressés par l'achat d'un panier par mois est comprise entre 1,2 % et 5,2 %.
   Le producteur peut estimer qu'au moins 1,2 % des foyers de la commune seraient intéressés par l'achat d'un panier par mois.
   D'où une estimation du montant en euros de la recette mensuelle minimale :$$15000\times \mathrm{0,012}\times 20=3600$$

   Au niveau de confiance 0,95, le producteur peut envisager de se lancer.

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partie b

La production mensuelle de légumes permettra de livrer au maximum 1000 paniers par mois. Le coût total de production est modélisé par la fonction C définie sur l'intervalle $\left[0;10\right]$ par $$C\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{48}}{x}^4+{\displaystyle \frac{5}{16}}{x}^3+5x+10$$ Lorsque x est exprimé en centaines de paniers, $C\left(x\right)$ est égal au coût total exprimé en centaines d'euros.
On admet que, pour tout nombre x de l'intervalle $\left[0;10\right]$, le coût marginal est donné par la fonction $C_m=C\prime$ où $C\prime$ est la fonction dérivée de C.

1. Calculer $C_m\left(6\right)$, le coût marginal pour six cents paniers vendus.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;10\right]$, $$\begin{array}{ccc}C\prime \left(x\right)& =& -{\displaystyle \frac{1}{48}}\times 4x^3+{\displaystyle \frac{5}{16}}\times 3x^2+5\hfill \\ & =& -{\displaystyle \frac{1}{12}}{x}^3+{\displaystyle \frac{15}{16}}{x}^2+5\hfill \end{array}$$ D'où $$C_m\left(6\right)=-{\displaystyle \frac{1}{12}}\times 6^3+{\displaystyle \frac{15}{16}}\times 6^2+5={\displaystyle \frac{83}{4}}$$

   Le coût marginal pour six cents paniers vendus est de 20,75 euros.

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2. On note $C″$ la fonction dérivée seconde de C et on a $C″\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+{\displaystyle \frac{15}{8}}x$.

   1. Déterminer le plus grand intervalle de la forme $\left[0;a\right]$ inclus dans $\left[0;10\right]$ sur lequel la fonction C est convexe.

      La convexité de la fonction C se déduit du signe de sa dérivée seconde sur $\left[0;10\right]$.

      Or pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;10\right]$, $$C″\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+{\displaystyle \frac{15}{8}}x={\displaystyle \frac{x\left(15-2x\right)}{8}}$$D'où le tableau du signe de $C″\left(x\right)$ :

      x	0		7,5		10
      $C″\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

      ---

      Sur $\left[0;{\displaystyle \frac{15}{2}}\right]$, la dérivée seconde est positive, donc la fonction C est convexe.

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   2. Que peut-on dire du point d'abscisse a de la courbe de la fonction C ? Interpréter cette valeur de a en termes de coût.

      La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour $x={\displaystyle \frac{15}{2}}$ donc :

      la courbe représentative de la fonction C admet un point d'inflexion au point d'abscisse $a={\displaystyle \frac{15}{2}}$ .
      À partir de 750 paniers, le rythme de croissance des coûts de production diminuent.

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partie c

On admet que l'entreprise produit entre 0 et 1000 paniers de légumes (par mois) et que tout ce qui est produit est vendu au prix de 20 euros le panier.
La recette mensuelle R, exprimée en centaines d'euros, ainsi que la fonction C sont représentées par les courbes $C_R$ et $C_C$ sur le graphique donné en annexe.
Par lecture graphique, répondre aux questions qui suivent.

1. Indiquer le nombre minimal de paniers que le producteur doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice. Donner une valeur approchée à la dizaine.

   Pour réaliser un bénéfice, le producteur doit produire et vendre au moins 70 paniers.

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2. Indiquer le bénéfice réalisé par le producteur s'il produit et vend 500 paniers dans le mois.
   Donner une valeur approchée à la centaine d'euros.

   Si le producteur produit et vend 500 paniers dans le mois, son bénéfice sera d'environ 3900 euros.

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3. Le producteur peut-il espérer réaliser un bénéfice de 5000 euros dans un mois ? Argumenter la réponse.

   Graphiquement, le bénéfice maximum que peut obtenir le producteur est d'environ 4000 euros.

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