sujet : Antilles Guyane septembre 2014

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

partie a

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

2. Comment se note la probabilité de l'évènement « la balle présente un défaut et provient de la chaine B » ?

   La probabilité de l'évènement « la balle présente un défaut et provient de la chaine B » est $P\left(D\cap B\right)=P_B\left(D\right)\times P\left(B\right)$.

   ---

3. Montrer que $P\left(D\right)$, la probabilité de l'évènement D, vaut 0,044.

   D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{ccc}P\left(D\right)& =& P\left(D\cap A\right)+P\left(D\cap B\right)+P\left(D\cap C\right)\hfill \\ & =& P_A\left(D\right)\times P\left(A\right)+P_B\left(D\right)\times P\left(B\right)+P_C\left(D\right)\times P\left(C\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,05}\times \mathrm{0,3}+\mathrm{0,05}\times \mathrm{0,1}+\mathrm{0,04}\times \mathrm{0,6}\hfill \\ & =& \mathrm{0,044}\hfill \end{array}$$

   La probabilité que la balle présente un défaut est égale à 0,044.

   ---

4. Calculer $P_D\left(A\right)$, la probabilité de A sachant D, et donner un résultat arrondi à 0,001.

   $$\begin{array}{ccc}{P}_D\left(A\right)={\displaystyle \frac{P\left(D\cap A\right)}{P\left(D\right)}}& \text{Soit}& P_D\left(A\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,015}}{\mathrm{0,044}}}\approx \mathrm{0,341}\end{array}$$

   La probabilité qu'une balle qui présente un défaut provienne de la chaîne A est 0,341.

   ---

5. On choisit 5 balles au hasard dans la production totale qui est suffisamment importante pour que ce choix puisse être assimilé à cinq tirages indépendants avec remise.
   Quelle est la probabilité pour que 3 balles possèdent un défaut ? Arrondir le résultat à 0,0001 et justifier la réponse.

Soit Y la variable aléatoire donnant le nombre de balles qui présentent un défaut. La production est suffisamment importante pour que le choix de 5 balles puisse être assimilé à cinq tirages indépendants avec remise donc Y suit une loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\mathrm{0,044}$ d'où : $$P\left(Y=3\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\times {\mathrm{0,044}}^3\times {\left(1-\mathrm{0,044}\right)}^2\approx \mathrm{0,0008}$$

La probabilité pour que 3 balles possèdent un défaut est égale à environ 0,0008.

---

---

partie b

Pour être homologuée par la Fédération Internationale de Tennis, le poids d'une balle de tennis doit être compris entre 56,7 grammes et 58,5 grammes.
On suppose que la variable aléatoire X qui, à une balle choisie au hasard dans la production, associe son poids en gramme, suit la loi normale d'espérance $\mu =\mathrm{57,6}$ et d'écart type $\sigma =\mathrm{0,3}$.
On arrondira les résultats au millième.

1. Quelle est la probabilité qu'une balle choisie au hasard soit homologuée ?

   Avec la calculatrice on obtient $P\left(\mathrm{56,7}⩽X⩽\mathrm{58,5}\right)\approx \mathrm{0,997}$

   La probabilité qu'une balle choisie au hasard soit homologuée est égale à 0,997.

   ---

2. Quelle est la probabilité qu'une balle choisie au hasard ait un poids supérieur à 58 grammes ?

   La calculatrice permet d'obtenir la probabilité $P\left(a⩽X⩽b\right)$ quand X suit la loi normale : $$\begin{array}{ccc}P\left(X⩾58\right)& =& P\left(X⩾\mathrm{57,6}\right)-P\left(\mathrm{57,6}⩽X⩽58\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(\mathrm{57,6}⩽X⩽58\right)\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,091}\hfill \end{array}$$

   La probabilité qu'une balle choisie au hasard ait un poids supérieur à 58 grammes est 0,091.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.