sujet : Antilles Guyane septembre 2014

Corrigé de l'exercice 2: candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Dans le jeu vidéo « Save the princess », l'objectif est d'aller délivrer une princesse tout en récoltant des trésors situés dans les couloirs du château.
Le plan du château est représenté par le graphe pondéré ci-dessous. Les sommets de ce graphe représentent les salles et les arêtes représentent les couloirs reliant les salles entre elles.

partie a

1. Le joueur se trouve dans la salle A. Il décide de visiter chacun des couloirs afin de trouver le plus de trésors possibles. Peut-il trouver un trajet lui permettant de passer par tous les couloirs une et une seule fois ? Justifier la réponse.

   Six sommets du graphe étant de degré impair, il n'existe pas de chaîne eulérienne. Par conséquent, il n'existe pas de trajet permettant de passer par tous les couloirs une et une seule fois.

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2. Dans chaque couloir se trouve un certain nombre de monstres. Les étiquettes du graphe pondéré donnent le nombre de monstres présents dans les couloirs.
   Le joueur souhaite, en partant de A, rejoindre la princesse enfermée dans la salle G. Déterminer le chemin qu'il doit prendre pour délivrer la princesse en combattant le moins de monstres possible.
   Combien de monstres aurait-il alors à affronter ?

   À l'aide de l'algorithme de Dijkstra, déterminons la chaîne de poids minimal pour aller de A à G.

   A	B	C	D	E	F	G	Sommet sélectionné
   0	∞	∞	∞	∞	∞	∞	A (0)
   	5 (A)	∞	7 (A)	∞	3 (A)	∞	F (3)
   	5 (A)	5 (F)	4 (F)	7 (F)		22 (F)	D (4)
   	5 (A)	5 (F)		7 (F)		22 (F)	B (5)
   		5 (F)		7 (F)		22 (F)	C (5)
   				7 (F)		19 (C)	E (7)
   						15 (E)	G (15)

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   Le sommet G étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de G et on "remonte" la chaîne en suivant les prédécesseurs. $G\leftarrow E\leftarrow F\leftarrow A$.

   Le chemin où l'on rencontre le moins de monstres est A - F - E - G. Il faudra alors affonter 15 monstres.

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partie b

1. Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste. On nommera les sommets U (pour la partie gagnée) et V (pour la partie perdue).

   Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est 0,7 d'où $p_{U_n}\left(U_{n+1}\right)=\mathrm{0,7}$ et $p_{U_n}\left(V_{n+1}\right)=\mathrm{0,3}$.
   Si le joueur perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est 0,6 d'où $p_{V_n}\left(V_{n+1}\right)=\mathrm{0,6}$ et $p_{V_n}\left(U_{n+1}\right)=\mathrm{0,4}$.

   D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

2. En déduire la matrice de transition en considérant les sommets dans l'ordre U, V.

   La matrice de transition M de ce graphe telle que $\left(\begin{array}{cc}{u}_{n+1}& v_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{u}_n& v_n\end{array}\right)\times M$ est $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}\hfill & \mathrm{0,3}\hfill \\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)$.

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3. On suppose la première partie perdue, l'état probabiliste initial est donc $P_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)$. Montrer que la probabilité que le joueur gagne la 3^e partie est 0,52.

   $$\begin{array}{ccc}{P}_3=P_1\times M^2& \text{Soit}& P_3=\left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}\hfill & \mathrm{0,3}\hfill \\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,52}& \mathrm{0,48}\end{array}\right)\end{array}$$

   La probabilité que le joueur gagne la 3^e partie est 0,52.

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4. Déterminer la probabilité que le joueur gagne la 15^e partie. Arrondir le résultat au centième.

   $$\begin{array}{ccc}{P}_{15}=P_1\times M^{14}& \text{Soit}& P_3=\left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}\hfill & \mathrm{0,3}\hfill \\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)}^{14}\approx \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,57}& \mathrm{0,43}\end{array}\right)\end{array}$$

   La probabilité que le joueur gagne la 15^e partie est environ 0,57.

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