Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Antilles Guyane septembre 2014

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

En 2008, une entreprise internationale s'est dotée d'un centre de visio-conférence qui permet de réaliser de grandes économies dans le budget « déplacement des cadres ».
Lors d'un conseil d'administration de fin d'année, le responsable du centre de visio-conférence fait le compte rendu suivant : on a observé un fort accroissement de l'utilisation de cette technologie, le nombre de visio-conférences, qui était de 30 en 2008, a augmenté de 20 % tous les ans.

  1. On s'intéresse au nombre d'utilisations de la visio-conférence lors de l'année 2008+n. On modélise la situation par une suite géométrique (un) où le terme un est une estimation de ce nombre d'utilisations lors de l'année 2008+n.

    1. Donner la raison q et le premier terme u0 de cette suite.

      u0=30 et, pour tout entier n, un+1=1,2un donc (un) est une suite géométrique de raison 1,2.


    2. Donner l'expression de un en fonction de n.

      (un) est une suite géométrique de raison 1,2 et de premier terme v0=-35 alors pour tout entier n, un=30×1,2n.


    3. Vérifier qu'en 2013 on a atteint 74 utilisations de la visio-conférence.

      u5=30×1,2574,6

      Selon ce modèle, en 2013 on a atteint 74 utilisations de la visio-conférence.


  2. On considère l'algorithme suivant :

    variables :

    n un nombre entier naturel
    U et A sont des nombres réels

    entrée :

    Saisir A

    traitement :

    Affecter à U la valeur 30
    Affecter à n la valeur 0

    Tant que U<A
    U prend la valeur U+U×0,2
    n la valeur n+1
    Fin Tant que

    Sortie :

    Afficher n

    1. On donne la valeur 100 à A. Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant.
      Les valeurs de U seront données approchées par défaut à l'entier près.

      Test U<Avraivrai vraivraivraivraivraiFAUX
      Valeur de U303643 51627489107
      Valeur de n012 34567
    2. Quelle est la valeur affichée en sortie de cet algorithme ?

      La valeur affichée en sortie de cet algorithme est 7.


    3. Interpréter cette valeur affichée dans le contexte de ce problème.

      En 2015, le nombre total d'utilisations aura dépassé 100.


  3. Le coût de l'installation des appareils de visio-conférence sera amorti quand le nombre total d'utilisations aura dépassé 400.
    À partir de quelle année cette installation sera-t-elle amortie ? Justifier la réponse.

    La somme des termes consécutifs d'une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q est S=u0×1-qn+11-q

    Le nombre total nombre total d'utilisations l'année 2008+n est donc :S=30×1-1,2n+11-1,2=-150×(1-1,2n+1)=180×1,2n-150

    Le rang de l'année est le plus petit entier n tel que : 180×1,2n-150>400180×1,2n>5501,2n>5518ln(1,2n)>ln(5518) La fonction  ln est strictement croissantenln1,2>ln(5518)Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier nlnan=nlnan>ln(5518)ln1,2

    Comme ln(5518)ln1,26,1, le plus petit entier n tel que 180×1,2n-150>400 est 7.

    Cette installation sera amortie à partir de 2015.



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