On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle , croissante sur et décroissante sur . On note la fonction dérivée de la fonction f.
La courbe (𝒞) tracée ci-dessous représente la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormé ; elle passe par les points ; et .
Elle admet en chacun des points A et B une tangente parallèle à l'axe des abscisses et sa tangente (T) au point C passe par le point .
Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. La justification peut reposer sur le graphique ou sur un calcul.
proposition 1 :.
Le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe (𝒞) au point :
La proposition 1 est fausse.
proposition 2 : La fonction f est concave sur .
La courbe (𝒞) est au dessus de la tangente en et au dessous de la tangente en donc sur l'intervalle la fonction f change au moins une fois de convexité.
La proposition 2 est fausse.
proposition 3 :.
Sur l'intervalle la courbe (𝒞) est au dessus de l'axe des abscisses. Par conséquent, l'intégrale est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe (𝒞), l'axe des abscisses est les droites d'équation et . Cette aire est comprise entre l'aire de deux rectangles d'où .
La proposition 3 est vraie.
proposition 4 : L'équation n'admet pas de solution sur .
La droite d'équation coupe la courbe (𝒞) en deux points. Par conséquent, l'équation admet deux solutions sur .
La proposition 4 est fausse.
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