sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2014

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

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1. L'arbre de probabilités ci-dessous représente une situation où A et B sont deux évènements, dont les évènements contraires sont respectivement notés $\overline{A}$ et $\overline{B}$.

   On complète l'arbre avec la règle des nœuds :

   Alors

   a.   $P_A\left(B\right)=\mathrm{0,18}$

   b.   $P\left(A\cap B\right)=\mathrm{0,9}$

   c.   $P_A\left(\overline{B}\right)=\mathrm{0,7}$

   d.   $P\left(B\right)=\mathrm{0,5}$

2. Avec le même arbre, la probabilité de l'évènement B est égale à :

   Les évènements A et B sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$

   $$\begin{array}{ccc}P\left(B\right)& =& P\left(A\cap B\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right)\hfill \\ & =& P_A\left(B\right)\times P\left(A\right)+P_{\overline{A}}\left(B\right)\times P\left(\overline{A}\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,3}\times \mathrm{0,6}+\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,4}\hfill \\ & =& \mathrm{0,26}\hfill \end{array}$$

   a.   0,5

   b.   0,18

   c.   0,26

   d.   0,38

3. On considère une fonction f définie et continue sur l'intervalle $\left[1;15\right]$. Son tableau de variation est indiqué ci-dessous.

   x	1	3	4		12		15
   $f\left(x\right)$	3		$-2$		$-1$		$-3$

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   Soit F une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;15\right]$. On peut être certain que :

   Dire que F est une primitive de la fonction f signifie que pour tout réel x de l'intervalle $\left[1;15\right]$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Par conséquent, les variations de la fonction F se déduisent du signe de de la fonction f

   x	1		3		15
   $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $F\left(x\right)$

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   1. La fonction F est négative sur l'intervalle $\left[3;4\right]$.

   2. La fonction F est positive sur l'intervalle $\left[4;12\right]$.

   3. La fonction F est décroissante sur l'intervalle $\left[4;12\right]$.

   4. La fonction F est décroissante sur l'intervalle $\left[1;3\right]$.

4. Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, l'équation $\ln x+\ln \left(x+3\right)=3\ln 2$ est équivalente à l'équation :

   Pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{ccc}\ln x+\ln \left(x+3\right)=3\ln 2& \iff & \ln \left(x\times \left(x+3\right)\right)=\ln 2^3\text{ et }x>0\hfill \\ & \iff & \ln \left(x^2+3x\right)=\ln 8\text{ et }x>0\hfill \\ & \iff & x^2+3x=8\text{ et }x>0\hfill \end{array}$$

   a.  $2x+3=6$

   b.   $2x+3=8$

   c.   $x^2+3x=6$

   d.   $x^2+3x=8$

5. g est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{5}{x}}$. On note C sa courbe représentative.
   L'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=2$ et $x=6$, est égale à :

   Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, la fonction g est positive. Par conséquent, l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=2$ et $x=6$, est égale à :$$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_2^6{\displaystyle \frac{5}{x}}\mathrm{d}x}& =& {\left[5\ln x\right]}_2^6\hfill \\ & =& 5\ln 6-5\ln 2\hfill \end{array}$$

   a.  $5\left(\ln 6-\ln 2\right)$

   b.   ${\displaystyle \frac{1}{6-2}}{\displaystyle {\int }_2^{6}g\left(x\right)\mathrm{d}x}$

   c.   $5\ln 6+5\ln 2$

   d.   $g\left(6\right)-g\left(2\right)$

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