Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2014

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

partie a

Chaque jour, Antoine s'entraine au billard américain pendant une durée comprise entre 20 minutes et une heure. On modélise la durée de son entrainement, en minutes, par une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[20; 60]$ .

Calculer la probabilité p pour que l'entrainement dure plus de 30 minutes.
$P (X ⩾ 30) = P (30 ⩽ X ⩽ 60) = \frac{60 - 30}{60 - 20} = 0,75$
La probabilité pour que l'entrainement dure plus de 30 minutes est égale à 0,75.
Calculer l'espérance de X. Interpréter ce résultat.
L'espérance mathématique de X est $E = \frac{20 + 60}{2} = 40$
L'espérance mathématique de X est égale à 40. Antoine s'entraine au billard en moyenne 40 minutes.

partie b

Dans cette partie les probabilités seront, si besoin, arrondies au millième.

Les boules de billard américain avec lesquelles Antoine s'entraine sont dites de premier choix si leur diamètre est compris entre 56,75 mm et 57,25 mm ; sinon elles sont dites de second choix.
On note D la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au hasard dans la production de l'entreprise, associe son diamètre, en millimètres.
On suppose que D suit la loi normale d'espérance 57 et d'écart-type 0,11.

Déterminer la probabilité $p_{1}$ que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57 mm.
D suit la loi normale d'espérance 57 et d'écart-type 0,11 donc $P (D ⩽ 57) = 0,5$
La probabilité $p_{1}$ que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57 mm est égale à 0,5.
Déterminer la probabilité $p_{2}$ que la boule prélevée soit une boule de premier choix.
À l'aide de la calculatrice, on trouve $P (56,25 ⩽ D ⩽ 57,25) \approx 0,977$
La probabilité que la boule prélevée soit une boule de premier choix est $p_{2} \approx 0,977$ .
En déduire la probabilité $p_{3}$ que la boule prélevée soit une boule de second choix.
La probabilité que la boule prélevée soit une boule de second choix est $p_{3} = 1 - p_{2} \approx 0,023$ .

partie c

Le président de la fédération française de billard (FFB) souhaite estimer le niveau de satisfaction de ses 14000 licenciés quant à l'organisation des tournois.
Antoine estime que les 80 adhérents de son club constituent un échantillon représentatif des licenciés de la FFB. Il est chargé de faire une étude au sein de son club : les 80 adhérents ont répondu, et 66 ont déclaré qu'ils étaient satisfaits.

Quelle est, sur cet échantillon, la fréquence observée f de personnes satisfaites de la FFB ?
La fréquence de personnes satisfaites de la FFB dans l'échantillon est $f = \frac{66}{80} = 0,825$ .
Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion p de licenciés satisfaits de la FFB. Les bornes de l'intervalle seront arrondies au millième.
Soit p la proportion inconnue de licenciés satisfaits de la FFB. Une estimation de cette proportion p peut être obtenue à l'aide de l'intervalle de confiance au niveau 0,95 qui est défini par : $I_{c} = [f - \frac{1}{\sqrt{n}}; f + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ où f est la fréquence observée de licenciés satisfaits de la FFB dans l'échantillon de taille $n = 80$ .
Soit $I_{c} = [0,825 - \frac{1}{\sqrt{80}}; 0,825 + \frac{1}{\sqrt{80}}]$
Un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion p de licenciés satisfaits de la FFB est $I_{c} = [0,713; 0,937]$ .

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