sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2014

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant 15 heures, la concentration, en grammes par litre, de ce médicament dans le sang.
On obtient la courbe suivante.

A. étude graphique :

Avec la précision permise par le graphique, indiquer :

1. la concentration à l'instant initial ;

   La concentration à l'instant initial est de 2 grammes par litre.

   ---

2. l'intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à 0,4 gramme par litre.
   On fera apparaitre sur le graphique les traits de construction nécessaires.

   L'intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à 0,4 gramme par litre est d'environ 6 heures.

   ---

B. étude théorique :

On admet que la concentration peut être modélisée par la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;15\right]$ par $f\left(x\right)=\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$, où x représente le nombre d'heures écoulées depuis l'instant initial et $f\left(x\right)$ la concentration, en grammes par litre, du médicament dans le sang.

1. On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f. Justifier que $f\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,5}x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$ et en déduire le tableau de variation de la fonction f sur $\left[0;15\right]$.

   • f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;15\right]$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x+2\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\hfill \end{array}$

     Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;15\right]$, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+2\right)\times \left(-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\right)\hfill \\ & =& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{0,5}x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\hfill \\ & =& -\mathrm{0,5}x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\hfill \end{array}$$

     Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur l'intervalle $\left[0;15\right]$ par $f\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,5}x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$.

     ---

   • Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}>0$ donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;15\right]$, $-\mathrm{0,5}x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}<0$.

     Sur l'intervalle $\left[0;15\right]$, $f\prime \left(x\right)<0$ donc la fonction f est strictement décroissante. D'où le tableau de variation de la fonction f sur $\left[0;15\right]$ :

     x	0		15
     $f\prime \left(x\right)$		−
     $f\left(x\right)$	2

     ---

2. Justifier que l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,1}$ admet une unique solution α sur l'intervalle $\left[0;15\right]$.

   $f\left(0\right)=2$ et $f\left(15\right)=17{\mathrm{e}}^{-\mathrm{7,5}}\approx \mathrm{0,009}$.

   Sur l'intervalle $\left[0;15\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et $f\left(15\right)<\mathrm{0,1}<f\left(0\right)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,1}$ admet une unique solution α sur l'intervalle $\left[0;15\right]$.

   ---

3. Déterminer un encadrement de α d'amplitude un dixième.

   À l'aide de la calculatrice, on trouve $\mathrm{9,4}<\alpha <\mathrm{9,5}$

   ---

4. Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous :

   1	deriver ((x + 2)*exp(-0.5*x))
   		exp(-0.5*x) − 0.5* exp(-0.5*x)*(x + 2)
   2	deriver (exp(-0.5*x) − 0.5*exp(-0.5*x)*(x + 2))
   		-exp(-0.5*x) + 0.25 *exp(-0.5*x)*(x + 2)
   3	factoriser (-exp(-0.5*x) + 0.25*exp(-0.5*x)*(x + 2))
   		(0.25*x − 0.5)*exp(-0.5*x)

   En vous appuyant sur ces résultats, étudier la convexité de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;15\right]$ et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion.

   La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde définie sur l'intervalle $\left[0;15\right]$ par $f″\left(x\right)=\left(\mathrm{0,25}x-\mathrm{0,5}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$

   Comme pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}>0$ alors $f″\left(x\right)$ est du même signe que $\mathrm{0,25}x-\mathrm{0,5}$ sur l'intervalle $\left[0;15\right]$.

   x	0		2		15
   Signe de $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   Convexité de f		f est concave		f est convexe

   ---

   La fonction f est concave sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ et convexe sur l'intervalle $\left[2;15\right]$. La courbe C admet un point d'inflexion au point d'abscisse 2.

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C. interprétation des résultats :

En vous aidant des résultats obtenus, soit dans la partie B, soit par lecture graphique et sans justifier, répondre aux questions ci-dessous.

1. On estime que le médicament n'est plus actif lorsque la concentration est strictement inférieure à 0,1 gramme par litre. Pendant combien de temps le médicament est-il actif ?

   La fonction f est strictement décroissante et $f\left(\alpha \right)=\mathrm{0,1}$ donc $f\left(x\right)<\mathrm{0,1}\iff x>\alpha$ avec $\mathrm{9,4}<\alpha <\mathrm{9,5}$

   Le médicament est actif pendant 9 heures et 30 minutes.

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2. Au bout de combien d'heures la baisse de concentration ralentit-elle ?

   Au point d'abscisse 2, la fonction f change de convexité donc au bout de deux heures la baisse de concentration ralentit.

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