sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2014

Corrigé de l'exercice 2: candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

1. 1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (A représentant l'état « Alice atteint la cible » et B l'état « Alice manque sa cible »).

      Si Alice atteint la cible à un lancer, la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à 0,9 d'où $p_{A_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,9}$ et $p_{A_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,1}$
      Si Alice a manqué la cible à un lancer, la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à 0,4 d'où $p_{B_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,4}$ et $p_{B_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,6}$

      D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

   2. Indiquer la matrice de transition M associée à ce graphe. On prendra les sommets A et B dans l'ordre (A, B).

      La matrice de transition M de ce graphe telle que pour tout nombre entier n strictement positif, $\left(\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& b_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)\times M$ est : $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)$.

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   3. Justifier que $P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)$ et $P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,65}& \mathrm{0,35}\end{array}\right)$.

      Au premier lancer, Alice a autant de chances d'atteindre la cible que de la manquer donc l'état intial est $P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)$.

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      L'état probabiliste au deuxième lancer est $P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,65}& \mathrm{0,35}\end{array}\right)$.

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2. 1. Montrer que, pour tout nombre entier n strictement positif, $a_{n+1}=\mathrm{0,9}{a}_n+\mathrm{0,4}{b}_n$.

      Pour tout nombre entier n strictement positif, $$\left(\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& b_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}{a}_n+\mathrm{0,4}{b}_n& \mathrm{0,1}{a}_n+\mathrm{0,6}{b}_n\end{array}\right)$$

      Soit pour tout nombre entier n strictement positif, $a_{n+1}=\mathrm{0,9}{a}_n+\mathrm{0,4}{b}_n$.

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   2. En déduire que, pour tout nombre entier n strictement positif, $a_{n+1}=\mathrm{0,5}{a}_n+\mathrm{0,4}$.

      La matrice ligne $P_n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)$ traduit l'état probabiliste au n-ième lancer d'où pour tout entier n strictement positif, $a_n+b_n=1$. Donc $$\begin{array}{ccc}{a}_{n+1}& =& \mathrm{0,9}{a}_n+\mathrm{0,4}\times \left(1-a_n\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,9}{a}_n+\mathrm{0,4}-\mathrm{0,4}{a}_n\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}{a}_n+\mathrm{0,4}\hfill \end{array}$$

      Pour tout nombre entier n strictement positif, $a_{n+1}=\mathrm{0,5}{a}_n+\mathrm{0,4}$.

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3. 1. Compléter l'algorithme de façon à ce qu'il affiche l'état probabiliste au n-ième lancer.

      entrées Saisir n traitement a prend la valeur 0,5 b prend la valeur 0,5 Pour i allant de 2 à n a prend la valeur $\mathrm{0,9}\times a+\mathrm{0,4}\times b$ b prend la valeur $1-a$ Fin Pour sortie Afficher a, b

      ou

      entrées Saisir n traitement a prend la valeur 0,5 b prend la valeur 0,5 Pour i allant de 2 à n a prend la valeur $\mathrm{0,5}\times a+\mathrm{0,4}$ b prend la valeur $1-a$ Fin Pour sortie Afficher a, b

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   2. Déterminer l'affichage de cet algorithme pour $n=5$.

      $$\begin{array}{ccccc}{P}_5=P_1\times M^4& \text{Soit}& P_5=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)}^4\hfill & \iff & P_5=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,78125}& \mathrm{0,21875}\end{array}\right)\hfill \end{array}$$

      L'affichage de cet algorithme pour $n=5$ est $\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,78125}& \mathrm{0,21875}\end{array}\right)$

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4. 1. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout nombre entier naturel n strictement positif par : $u_n=a_n-\mathrm{0,8}$.
      Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

      Pour tout entier n strictement positif, $$\begin{array}{lll}{u}_{n+1}& =& a_{n+1}-\mathrm{0,8}\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}{a}_n+\mathrm{0,4}-\mathrm{0,8}\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}{a}_n-\mathrm{0,4}\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}\times \left(a_n-\mathrm{0,8}\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}{u}_n\hfill \end{array}$$

      Pour tout entier n strictement positif, $u_{n+1}=\mathrm{0,5}{u}_n$ donc $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5 de premier terme $u_1=a_1-\mathrm{0,8}=-\mathrm{0,3}$.

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   2. Donner l'expression de $u_n$ en fonction de n, puis en déduire que pour tout nombre entier naturel n strictement positif, $a_n=\mathrm{0,8}-\mathrm{0,3}\times {\mathrm{0,5}}^{n-1}$.

      $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme $u_1=-\mathrm{0,3}$ donc pour tout entier $n⩾1$, $u_n=-\mathrm{0,3}\times {\mathrm{0,5}}^n$

      Comme pour tout tout entier naturel $n⩾1$, $u_n=a_n-\mathrm{0,8}\iff a_n=u_n+\mathrm{0,8}$, on en déduit que :

      pour tout nombre entier naturel n strictement positif, $a_n=\mathrm{0,8}-\mathrm{0,3}\times {\mathrm{0,5}}^{n-1}$.

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   3. À long terme, que peut-on penser de la probabilité qu'Alice atteigne la cible ?

      $0<\mathrm{0,5}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,5}}^{n-1}=0$ d'où $\underset{n\to +\infty }{\lim }\mathrm{0,8}-\mathrm{0,3}\times {\mathrm{0,5}}^{n-1}=\mathrm{0,8}$. Soit $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=\mathrm{0,8}$.

      La suite $\left(a_n\right)$ converge vers 0,8 donc à partir d'un certain nombre de lancers de flèches, la probabilité qu'Alice atteigne la cible à chaque lancer est proche de 0,8

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   4. Par quelle autre méthode aurait-on pu trouver le résultat précédent ?

      Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $P_n$ converge vers un état stable $P=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$ tel que $\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)$ avec $a+b=1$

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