Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2014

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

À l'automne 2010, Claude achète une maison à la campagne ; il dispose d'un terrain de 1500 m² entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20 % de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50 m² et la remplace par du gazon.
Pour tout nombre entier naturel n, on note $u_{n}$ la surface en m² de terrain engazonné au bout de n années, c'est-à-dire à l'automne 2010 + n. On a donc $u_{0} = 1 500$ .

Calculer $u_{1}$ .
$\begin{matrix} u_{1} & = & u_{0} \times (1 - \frac{20}{100}) + 50 \\ = & 1500 \times 0,8 + 50 \\ = & 1250 \end{matrix}$
$u_{1} = 1250$ .
Justifier que, pour tout nombre entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,8 u_{n} + 50$ .
Tous les ans, 20 % de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50 m² et la remplace par du gazon d'où pour tout nombre entier naturel n, $u_{n + 1} = u_{n} \times (1 - \frac{20}{100}) + 50 = = 0,8 u_{n} + 50$
Pour tout nombre entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,8 u_{n} + 50$ .
On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout nombre entier naturel n par : $v_{n} = u_{n} - 250$ .
1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 250 \\ = & 0,8 u_{n} + 50 - 250 \\ = & 0,8 u_{n} - 200 \\ = & 0,8 \times (u_{n} - 250) \\ = & 0,8 v_{n} \end{array}$
  Pour tout entier n, $v_{n + 1} = 0,8 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 de premier terme $v_{0} = u_{0} - 250 = 1250$ .
2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de n.
  En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, $u_{n} = 250 + 1250 \times {0,8}^{n}$ .
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme $v_{0} = 1250$ donc pour tout entier n, $v_{n} = 1250 \times {0,8}^{n}$
  Comme pour tout tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 250 \Leftrightarrow u_{n} = v_{n} + 250$ , on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $u_{n} = 250 + 1250 \times {0,8}^{n}$ .
3. Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 4 années ?
  $u_{4} = 250 + 1250 \times {0,8}^{4} = 762$
  Au bout de 4 années, la surface de terrain engazonné est de 762 m².
1. Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l'entier naturel n telle que : $250 + 1250 \times {0,8}^{n} < 500$ .
  Interpréter le résultat obtenu.
  Pour tout entier n, $\begin{matrix} 250 + 1250 \times {0,8}^{n} < 500 & \Leftrightarrow & 1250 \times {0,8}^{n} < 250 \\ \Leftrightarrow & {0,8}^{n} < \frac{250}{1250} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,8}^{n}) < \ln 0,2 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \ln 0,8 < \ln 0,2 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 0,2}{\ln 0,8} & \ln 0,8 < 0 \end{matrix}$
  Comme $\frac{\ln 0,2}{\ln 0,8} \approx 7,2$ alors, la plus petite valeur de l'entier naturel n telle que $250 + 1250 \times {0,8}^{n} < 500$ est $n = 8$ .
  À partir de la huitième année, la surface de terrain engazonné sera inférieure à 500 m².
2. Compléter l'algorithme pour qu'il affiche la solution obtenue à la question précédente.
  initialisation
  - u prend la valeur 1500
  - n prend la valeur 0
  traitement
  - Tant que $u ⩾ 500$ faire
    - u prend la valeur $0,8 \times u + 50$
    - n prend la valeur $n + 1$
  - Fin Tant que
  sortie
  - Afficher n
Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain.
A-t-il raison ? Justifier la réponse.
Pour tout entier n, $1250 \times {0,8}^{n} > 0$ donc pour tout entier n, $250 + 1250 \times {0,8}^{n} > 250$ . Soit pour tout entier n, $u_{n} > 250$ .
Claude a raison : la surface de terrain engazonné sera toujours supérieure à 250 m².

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