Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Liban 2014

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Un serveur, travaillant dans une pizzeria, remarque qu'en moyenne, 40 % des clients sont des familles, 25 % des clients sont des personnes seules et 35 % des clients sont des couples.
Il note aussi que :

70 % des familles laissent un pourboire ;
90 % des personnes seules laissent un pourboire ;
40 % des couples laissent un pourboire.

Un soir donné, ce serveur prend au hasard une table occupée dans la pizzeria.

On s'interesse aux evenements suivants :

F : « la table est occupée par une famille »
S : « la table est occupée par une personne seule »
C : « la table est occupée par un couple »
R : « le serveur reçoit un pourboire »

On note $\bar{A}$ l'évènement contraire de A et $P_{B} (A)$ probabilité de A sachant B.

partie a

D'après les données de l'énoncé, préciser les probabilités $P (F)$ et $P_{S} (R)$ .
40 % des clients sont des familles d'où $P (F) = 0,4$
90 % des personnes seules laissent un pourboire d'où $P_{S} (R) = 0,9$
Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :
1. Calculer $P (F \cap R)$
  $\begin{matrix} P (F \cap R) & = & P_{F} (R) \times P (F) \\ = & 0,7 \times 0,4 \\ = & 0,28 \end{matrix}$
  La probabilité que la table soit occupée par une famille et que le serveur reçoive un pourboire est égale à 0,28.
2. $P (R)$
  Les évènements F, C et S forment une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire. D'après la formule des probabilités totales : $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
  Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p (B) = p (B \cap A_{1}) + p (B \cap A_{2}) + \dots + p (B \cap A_{n})$
  Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : $p (B) = p (B \cap A) + p (B \cap \bar{A})$ $P (R) = P (F \cap R) + P (C \cap R) + P (S \cap R)$
  Or : $\begin{matrix} P (C \cap R) = P_{C} (R) \times P (C) & soit & P (C \cap R) = 0,4 \times 0,35 = 0,14 \\ et & P (S \cap R) = P_{S} (R) \times P (S) & soit & P (S \cap R) = 0,9 \times 0,25 = 0,225 \end{matrix}$
  D'où $P (R) = 0,28 + 0,14 + 0,225 = 0,645$
  La probabilité que le reçoive un pourboire est égale à 0,645.
Sachant que le serveur a reçu un pourboire, calculer la probabilité que ce pourboire vienne d'un couple. Le résultat sera arrondi à 10^-3.
$\begin{matrix} P_{R} (C) = \frac{P (C \cap R)}{P (R)} & Soit & P_{R} (C) = \frac{0,14}{0,645} \approx 0,217 \end{matrix}$
La probabilité que la table soit occupée par un couple sachant que le serveur a reçu un pourboire est environ 0,217.

partie b

On note X la variable aléatoire qui, à un soir donné, associe le montant total en euro des pourboires obtenus par le serveur. On admet que X suit la loi normale d'éspérance $μ = 15$ et d'écart type $σ = 4,5$ .
Dans les questions suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice et les résultats arrondis à 10^-2.

Calculer :
1. la probabilité que le montant total des pourboires reçus par le serveur soit compris entre 6 et 24 euros.
  Si X est une une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance μ et d'écart type σ alors $p (μ - 2 σ ⩽ X ⩽ μ + 2 σ) \approx 0,954$ d'où $\begin{matrix} p (15 - 2 \times 4,5 ⩽ X ⩽ 15 + 2 \times 4,5) \approx 0,954 & soit & p (6 ⩽ X ⩽ 24) \approx 0,95 \end{matrix}$
  Ainsi, la probabilité que le montant total des pourboires reçus par le serveur soit compris entre 6 et 24 euros est environ 0,95.
2. $P (X ⩾ 20)$ .
  La calculatrice permet de déterminer la probabilité $P (a ⩽ X ⩽ b)$ quand X suit la loi normale : $\begin{matrix} p (X ⩾ 20) & = & P (X ⩾ 14) - P (15 ⩽ X ⩽ 20) \\ = & 0,5 - P (15 ⩽ X ⩽ 20) \\ \approx & 0,13 \end{matrix}$
  La probabilité, arrondie au centième, que le montant total des pourboires du serveur soit supérieur à 20 euros est égale à 0,13.
Calculer la probabilité que le montant total des pourboires du serveur soit supérieur à 20 euros sachant que ce montant est compris entre 6 et 24 euros.
Soit A l'évènement « le montant total des pourboires reçus par le serveur soit compris entre 6 et 24 euros » et B l'évènement « le montant total des pourboires du serveur soit supérieur à 20 euros »
$A \cap B$ est l'évènement « le montant total des pourboires reçus par le serveur soit compris entre 20 et 24 euros ». $\begin{matrix} P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)} & Soit & P_{A} (B) = \frac{P (20 ⩽ X ⩽ 24)}{P (6 ⩽ X ⩽ 24)} \approx 0,12 \end{matrix}$
Arrondie au centième, la probabilité que le montant total des pourboires du serveur soit supérieur à 20 euros sachant que ce montant est compris entre 6 et 24 euros est égale à 0,12.

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