sujet : Liban 2014

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

1. 1. Vérifier que pour tout x appartenant à l'intervalle $\left[0;5\right]$, on a $f\prime \left(x\right)=1-{\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{0,5}}$ où $f\prime$ désigne la fonction dérivée de f.

      Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction ${\mathrm{e}}^u$ est dérivable sur I et sa dérivée est de la forme $u\prime \times {\mathrm{e}}^u$. Donc la fonction f est dérivable sur $\left[0;5\right]$ comme somme de fonctions dérivables.

      Pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;5\right]$, $f\prime \left(x\right)=1-{\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{0,5}}$.

      ---

   2. Résoudre dans l'intervalle $\left[0;5\right]$ l'équation $f\prime \left(x\right)=0$.

      $$\begin{array}{ccc}1-{\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{0,5}}=0& \iff & {\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{0,5}}=1\hfill \\ & \iff & -x+\mathrm{0,5}=0\hfill \\ & \iff & x=\mathrm{0,5}\hfill \end{array}$$

      L'équation $f\prime \left(x\right)=0$ admet pour solution $x=\mathrm{0,5}$.

      ---

   3. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;5\right]$.

      $$\begin{array}{cccc}1-{\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{0,5}}<0& \iff & -{\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{0,5}}<-1\hfill & \\ & \iff & {\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{0,5}}>1\hfill & \\ & \iff & -x+\mathrm{0,5}>0\hfill & \text{La fonction exponentielle est strictement croissante}\hfill \\ & \iff & -x>-\mathrm{0,5}\hfill & \\ & \iff & x<\mathrm{0,5}\hfill & \end{array}$$

      D'où le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$

      x	0		0,5		5
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   4. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;5\right]$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      x	0		0,5		5
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$	$1+\sqrt{\mathrm{e}}$		2,5		$6+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{4,5}}$

2. On note α l'abscisse du point d'intersection de 𝒞 et Δ.

   1. Donner, par lecture graphique, un encadrement de α à 0,5 près.

      Par lecture graphique, $2<\alpha <\mathrm{2,5}$.

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   2. Résoudre graphiquement sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ l'inéquation $f\left(x\right)<\mathrm{1,5}x$.

      Graphiquement, les solutions de l'inéquation $f\left(x\right)<\mathrm{1,5}x$ sont les abscisses des points de la courbe 𝒞 situés en dessous de la droite Δ. D'où $S=\left]\alpha ;5\right]$

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partie b Application

Une entreprise fabrique des cartes à puces électroniques à l'aide d'une machine.
La fonction f, définie dans la partie A, représente le coût d'utilisation de la machine en fonction de la quantité x de cartes produites, lorsque x est exprimé en centaines de cartes et $f\left(x\right)$ en centaines d'euros.

1. 1. Déduire de la partie A, le nombre de cartes à produire pour avoir un coût minimal d'utilisation de la machine.

      Le minimum de la fonction f est atteint pour $x=\mathrm{0,5}$ donc le coût minimal de production est obtenu avec une production de 50 cartes.

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   2. Chaque carte fabriquée par la machine est vendue l,50 €.
      La recette perçue pour la vente de x centaines de cartes vaut donc $\mathrm{1,5}x$ centaines d'euros.
      Vérifier que le bénéfice obtenu, en centaines d'euros, par la vente de x centaines de cartes est donné par $B\left(x\right)=\mathrm{0,5}x-1-{\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{0,5}}$.

      $$\begin{array}{ccc}B\left(x\right)& =& \mathrm{1,5}x-f\left(x\right)\hfill \\ & =& \mathrm{1,5}x-\left(x+1+{\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{0,5}}\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}x-1-{\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{0,5}}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, B est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ par $B\left(x\right)=\mathrm{0,5}x-1-{\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{0,5}}$.

      ---

2. 1. Montrer que la fonction B est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0;5\right]$.

      La dérivée de la fonction B est la fonction $B\prime$ définie sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ par $$B\prime \left(x\right)=\mathrm{0,5}+{\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{0,5}}$$ Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{0,5}}>0$. Donc sur l'intervalle $\left[0;5\right]$, $B\prime \left(x\right)>0$

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;5\right]$, $B\prime \left(x\right)>0$ donc la fonction B est strictement croissante sur cet l'intervalle.

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   2. Montrer que, sur l'intervalle $\left[0;5\right]$, l'équation $B\left(x\right)=0$ admet une unique solution comprise entre 2,32 et 2,33.

      $B\left(0\right)=-1-\sqrt{\mathrm{e}}\approx -\mathrm{2,6}$ et $B\left(5\right)=\mathrm{1,5}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{4,5}}\approx \mathrm{1,5}$.

      Sur l'intervalle $\left[0;5\right]$, la fonction B est dérivable donc continue, strictement croissante et $B\left(0\right)<0<B\left(5\right)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

      l'équation $B\left(x\right)=0$ admet une unique solution α dans l'intervalle $\left[0;5\right]$. Comme $B\left(\mathrm{2,32}\right)<0<B\left(\mathrm{2,33}\right)$, $\mathrm{2,32}<\alpha <\mathrm{2,33}$

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3. On dira que l'entreprise réalise un bénéfice lorsque $B\left(x\right)>0$.
   Indiquer la quantité minimale qui doit figurer sur le carnet de commandes de l'entreprise pour que celle-ci puisse réaliser un bénéfice.

   La fonction B est strictement croissante et $B\left(\alpha \right)=0$. Donc pour tout réel $x>\alpha$, $B\left(\alpha \right)>0$.

   L'entreprise réalise un bénéfice pour toute production supérieure ou égale à 233 cartes.

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