Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Liban 2014

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

La médiathèque d'une petite ville a ouvert ses portes le 2 janvier 2013 et a enregistré 2500 inscriptions en 2013.
Elle estime que, chaque année, 80 % des anciens inscrits renouvelleront leur inscription l'année suivante et qu'il y aura 400 nouveaux adhérents.

On modélise cette situation par une suite numérique $(a_{n})$ .
On note $a_{0} = 2500$ le nombre d'inscrits à la médiathèque en 2013 et $a_{n}$ représente le nombre d'inscrits à la médiathèque pendant l'année 2013 + n.

1. Calculer $a_{1}$ et $a_{2}$ .
  Chaque année, 80 % des anciens inscrits renouvellent leur inscription l'année suivante auxquels on ajoute 400 nouveaux adhérents :
  $\begin{matrix} a_{1} = 0,8 \times a_{0} + 400 & Soit & a_{1} = 0,8 \times 2500 + 400 = 2400 \\ a_{2} = 0,8 \times a_{1} + 400 & Soit & a_{2} = 0,8 \times 2400 + 400 = 2320 \end{matrix}$
  $a_{1} = 2400$ et $a_{2} = 2320$
2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a la relation $a_{n + 1} = 0,8 \times a_{n} + 400$ .
  Chaque année, 80 % des anciens inscrits renouvellent leur inscription l'année suivante auxquels on ajoute 400 nouveaux adhérents d'où pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,8 \times a_{n} + 400$ .
On pose, pour tout entier naturel n, $v_{n} = a_{n} - 2000$ .
1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de premier terme $v_{0} = 500$ et de raison $q = 0,8$ .
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 2000 \\ = & 0,8 a_{n} + 400 - 2000 \\ = & 0,8 a_{n} - 1600 \\ = & 0,8 \times (a_{n} - 2000) \\ = & 0,8 v_{n} \end{array}$
  Pour tout entier n, $v_{n + 1} = 0,8 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8. D'autre part, $\begin{matrix} v_{0} = a_{0} - 2000 & soit & v_{0} = 2500 - 2000 = 500 \end{matrix}$
  Ainsi, $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme $v_{0} = 500$ .
2. En déduire que le terme général de la suite $(a_{n})$ est $a_{n} = 500 \times {0,8}^{n} + 2000$ .
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme $v_{0} = 500$ donc pour tout entier n, $v_{n} = 500 \times {0,8}^{n}$ .
  Comme pour tout entier n, $v_{n} = a_{n} - 2000 \Leftrightarrow a_{n} = v_{n} + 2000$ :
  pour tout entier n, $a_{n} = 500 \times {0,8}^{n} + 2000$ .
3. Calculer la limite de la suite $(a_{n})$ .
  $0 < 0,8 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,8}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 500 \times {0,8}^{n} + 2000 = 2000$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 2000$ .
  La suite $(a_{n})$ converge vers 2000.
4. Que peut-on en déduire pour le nombre d'adhérents à la médiathèque si le schéma d'inscription reste le même au cours des années à venir ?
  La suite $(a_{n})$ converge vers 2000 donc à partir d'un certain nombre d'années, chaque année, le nombre d'adhérents à la médiathèque sera proche de 2000.
On propose l'algorithme suivant :
variables :
N entier
A réel
initialisation :
N prend la valeur 0
A prend la valeur 2500
traitement :
Tant que $A - 2000 > 50$
A prend la valeur $A \times 0,8 + 400$
N prend la valeur $N + 1$
Fin du Tant que
Sortie :
Afficher N
1. Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme.
  Cet algorithme permet d'obtenir le rang n de l'année 2013 + n à partir de laquelle le nombre d'adhérents à la médiathèque sera inférieur à 2050.
2. À l'aide de la calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme et interpréter la réponse dans le contexte de l'exercice.
  On peut programmer l'algorithme ou résoudre l'inéquation $500 \times {0,8}^{n} ⩽ 50$ . On obtient $n = 11$ .
  Vérifions ce résultat : $\begin{matrix} 500 \times {0,8}^{n} ⩽ 50 & \Leftrightarrow & {0,8}^{n} ⩽ 0,1 \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,8}^{n}) ⩽ \ln 0,1 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \ln 0,8 ⩽ \ln 0,1 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln 0,1}{\ln 0,8} & \ln 0,8 < 0 \end{matrix}$
  Comme $\frac{\ln 0,1}{\ln 0,8} \approx 10,3$ , le plus petit entier $n ⩾ \frac{\ln 0,1}{\ln 0,8}$ est 11.
  C'est en 2024 que le nombre d'adhérents à la médiathèque sera inférieur à 2050.

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variables :	N entier A réel
initialisation :	N prend la valeur 0 A prend la valeur 2500
traitement :	Tant que $A - 2000 > 50$ A prend la valeur $A \times 0,8 + 400$ N prend la valeur $N + 1$ Fin du Tant que
Sortie :	Afficher N