sujet : Liban 2014

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

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Un fumeur est dit fumeur régulier s'il fume au moins une cigarette par jour.
En 2010, en France, la proportion notée p de fumeurs réguliers, âgés de 15 à 19 ans, était de 0,236. (Source : Inpes)
On a $p=\mathrm{0,236}$.

1. La probabilité que, sur un groupe de 10 jeunes âgés de 15 à 19 ans choisis au hasard et de manière indépendante, aucun ne soit fumeur régulier est, à 10^-3 près :

   Soit X la variable aléatoire qui, sur un groupe de jeunes âgés de 15 à 19 ans, associe le nombre de fumeurs réguliers.

   Comme les dix jeunes âgés de 15 à 19 ans sont choisis au hasard et de manière indépendante, X suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\mathrm{0,236}$. $$P\left(X=0\right)={\left(1-\mathrm{0,236}\right)}^{10}\approx \mathrm{0,068}$$

   a.   0,236

   b.   0

   c.   0,068

   d.   0,764

2. Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 de la fréquence de fumeurs réguliers dans un échantillon de 500 jeunes âgés de 15 à 19 ans est :
   (Les bornes de chaque intervalle sont données à 10^-3 près)

   Comme $n=500$, $n\times p=500\times \mathrm{0,236}=118$ et $n\times \left(1-p\right)=500\times \mathrm{0,764}=382$, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,236}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,236}\times \mathrm{0,764}}{500}}};\mathrm{0,236}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,236}\times \mathrm{0,764}}{500}}}\right]\end{array}$$

   Soit en choisissant pour la borne inférieure, la valeur approchée à ${10}^{-3}$ près par défaut et pour la borne supérieure, la valeur approchée à ${10}^{-3}$ près par excès $I=\left[\mathrm{0,198};\mathrm{0,274}\right]$

   a.   $\left[\mathrm{0,198};\mathrm{0,274}\right]$

   b.  $\left[\mathrm{0,134};\mathrm{0,238}\right]$

   c.   $\left[\mathrm{0,19};\mathrm{0,281}\right]$

   d.   $\left[\mathrm{0,192};\mathrm{0,280}\right]$

3. La taille n de l'échantillon choisi afin que l'amplitude de l'intervalle de fluctuation au seuil de 0,95 soit inférieure à 0,01, vaut :

   Dans la mesure où une seule des quatre réponses est vraie, il suffit de choisir la valeur la plus grande pour n.

   Plus généralement la taille minimale de l'échantillon est le plus petit entier n solution de l'inéquation $$\begin{array}{ccc}\left(\mathrm{0,236}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,236}\times \mathrm{0,764}}{n}}}\right)-\left(\mathrm{0,236}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,236}\times \mathrm{0,764}}{n}}}\right)⩽\mathrm{0,01}& \iff & 2\times \mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,236}\times \mathrm{0,764}}{n}}}⩽\mathrm{0,01}\hfill \\ & \iff & \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,236}\times \mathrm{0,764}}{n}}}⩽{\displaystyle \frac{\mathrm{0,01}}{\mathrm{3,92}}}\hfill \\ & \iff & \sqrt{{\displaystyle \frac{n}{\mathrm{0,236}\times \mathrm{0,764}}}}⩾{\displaystyle \frac{\mathrm{3,92}}{\mathrm{0,01}}}\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{n}{\mathrm{0,236}\times \mathrm{0,764}}}⩾{392}^2\hfill \\ & \iff & n⩾{392}^2\times \mathrm{0,236}\times \mathrm{0,764}\hfill \\ & \text{Soit}& n⩾27707\hfill \end{array}$$

   a.  $n=200$

   b.  $n=400$

   c.  $n=\mathrm{21\; 167}$

   d.  $n=\mathrm{27\; 707}$

4. Dans un échantillon de 250 jeunes fumeurs réguliers, âgés de 15 à 19 ans, 99 sont des filles.
   Au seuil de 95 %, un intervalle de confiance de la proportion de filles parmi les fumeurs réguliers âgés de 15 à 19 ans est :
   (Les bornes de chaque intervalle sont données à 10^-2près)

   La fréquence f des filles dans l'échantillon est : $f={\displaystyle \frac{99}{250}}=\mathrm{0,396}$

   Un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion p de filles parmi les fumeurs réguliers âgés de 15 à 19 ans est : $$\left[\mathrm{0,396}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{250}}};\mathrm{0,396}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{250}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,33};\mathrm{0,46}\right]$$

   a.  $\left[\mathrm{0,35};\mathrm{0,45}\right]$

   b.   $\left[\mathrm{0,33};\mathrm{0,46}\right]$

   c.   $\left[\mathrm{0,39};\mathrm{0,40}\right]$

   d.   $\left[\mathrm{0,30};\mathrm{0,50}\right]$

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