Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Liban 2014

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Un serveur, travaillant dans une pizzeria, remarque qu'en moyenne, 40 % des clients sont des familles, 25 % des clients sont des personnes seules et 35 % des clients sont des couples.
Il note aussi que :

Un soir donné, ce serveur prend au hasard une table occupée dans la pizzeria.

On s'interesse aux evenements suivants :

On note A¯ l'évènement contraire de A et PBA probabilité de A sachant B.

partie a

  1. D'après les données de l'énoncé, préciser les probabilités PF et PSR.

  2. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Calculer PFR

    2. PR

  3. Sachant que le serveur a reçu un pourboire, calculer la probabilité que ce pourboire vienne d'un couple. Le résultat sera arrondi à 10-3.

partie b

On note X la variable aléatoire qui, à un soir donné, associe le montant total en euro des pourboires obtenus par le serveur. On admet que X suit la loi normale d'éspérance μ=15 et d'écart type σ=4,5.

Dans les questions suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice et les résultats arrondis à 10-2.

  1. Calculer :

    1. la probabilité que le montant total des pourboires reçus par le serveur soit compris entre 6 et 24 euros.

    2. PX20.

  2. Calculer la probabilité que le montant total des pourboires du serveur soit supérieur à 20 euros sachant que ce montant est compris entre 6 et 24 euros.


EXERCICE 2 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. On ne demande pas de justification.
Chaque réponse exacte rapportera 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point.

Un fumeur est dit fumeur régulier s'il fume au moins une cigarette par jour.
En 2010, en France, la proportion notée p de fumeurs réguliers, âgés de 15 à 19 ans, était de 0,236. (Source : Inpes)

On a p=0,236.

  1. La probabilité que, sur un groupe de 10 jeunes âgés de 15 à 19 ans choisis au hasard et de manière indépendante, aucun ne soit fumeur régulier est, à 10-3 près :

     a.   0,236

     b.   0

     c.   0,068

     d.   0,764

  2. Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 de la fréquence de fumeurs réguliers dans un échantillon de 500 jeunes âgés de 15 à 19 ans est :
    (Les bornes de chaque intervalle sont données à 10-3 près)

     a.   0,1980,274

     b.  0,1340,238

     c.   0,190,281

     d.   0,1920,280

  3. La taille n de l'échantillon choisi afin que l'amplitude de l'intervalle de fluctuation au seuil de 0,95 soit inférieure à 0,01, vaut :

     a.  n=200

     b.  n=400

     c.  n=21 167

     d.  n=27 707

  4. Dans un échantillon de 250 jeunes fumeurs réguliers, âgés de 15 à 19 ans, 99 sont des filles.
    Au seuil de 95 %, un intervalle de confiance de la proportion de filles parmi les fumeurs réguliers âgés de 15 à 19 ans est :
    (Les bornes de chaque intervalle sont données à 10-2près)

     a.  0,350,45

     b.   0,330,46

     c.   0,390,40

     d.   0,300,50


EXERCICE 3 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

La médiathèque d'une petite ville a ouvert ses portes le 2 janvier 2013 et a enregistré 2500 inscriptions en 2013.
Elle estime que, chaque année, 80 % des anciens inscrits renouvelleront leur inscription l'année suivante et qu'il y aura 400 nouveaux adhérents.

On modélise cette situation par une suite numérique an.
On note a0=2500 le nombre d'inscrits à la médiathèque en 2013 et an représente le nombre d'inscrits à la médiathèque pendant l'année 2013 + n.

    1. Calculer a1 et a2.

    2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a la relation an+1=0,8×an+400.

  1. On pose, pour tout entier naturel n, vn=an-2000.

    1. Démontrer que la suite vn est une suite géométrique de premier terme v0=500 et de raison q=0,8.

    2. En déduire que le terme général de la suite an est an=500×0,8n+2000.

    3. Calculer la limite de la suite an.

    4. Que peut-on en déduire pour le nombre d'adhérents à la médiathèque si le schéma d'inscription reste le même au cours des années à venir ?

  2. On propose l'algorithme suivant :

    variables :

    N entier
    A réel

    initialisation :

    N prend la valeur 0
    A prend la valeur 2500

    traitement :

    Tant que A-2000>50
    A prend la valeur A×0,8+400
    N prend la valeur N+1
    Fin du Tant que

    Sortie :

    Afficher N

    1. Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme.

    2. À l'aide de la calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme et interpréter la réponse dans le contexte de l'exercice.


EXERCICE 3 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On a schématisé ci-dessous le plan d'une MJC (Maison de la Jeunesse et de la Culture) par un graphe dont les sommets sont les salles et les arêtes sont les passages (portes, couloirs ou escaliers) entre les salles.
On appelle H le hall d'entrée et B le bureau du directeur.

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

En fin de journée, un agent de service fait le tour de la MJC pour récupérer dans chaque salle (bureau du directeur et hall inclus) les objets oubliés par les enfants.

  1. Préciser si ce graphe est connexe en justifiant la réponse.

  2. Déterminer, en justifiant, si l'agent de service peut passer par toutes les salles en utilisant une fois et une seule chaque passage.

  3. On range les sommets par ordre alphabétique. Donner la matrice d'adjacence M associée au graphe.

  4. On donne : M4=31152621271812151215121812626153118272112211218201718527182717341716181221181720512612516510 En déduire le nombre de chemins de longueur 4 entre les sommets B et H.

  5. On a indiqué sur le graphe ci-dessous le temps en minute mis pour passer entre les différentes salles en ouvrant et fermant les portes à clé.

    Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    À l'aide d'un algorithme, déterminer le temps minimal en minute pour aller de B à H.


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction f définie sur l'intervalle 05 par fx=x+1+e-x+0,5.

On a représenté en annexe, dans un plan muni d'un repère orthonormé :

    1. Vérifier que pour tout x appartenant à l'intervalle 05, on a fx=1-e-x+0,5f désigne la fonction dérivée de f.

    2. Résoudre dans l'intervalle 05 l'équation fx=0.

    3. Étudier le signe de fx sur l'intervalle 05.

    4. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle 05.

  1. On note α l'abscisse du point d'intersection de 𝒞 et Δ.

    1. Donner, par lecture graphique, un encadrement de α à 0,5 près.

    2. Résoudre graphiquement sur l'intervalle 05 l'inéquation fx<1,5x.

Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie b Application

Une entreprise fabrique des cartes à puces électroniques à l'aide d'une machine.

La fonction f, définie dans la partie A, représente le coût d'utilisation de la machine en fonction de la quantité x de cartes produites, lorsque x est exprimé en centaines de cartes et fx en centaines d'euros.

    1. Déduire de la partie A, le nombre de cartes à produire pour avoir un coût minimal d'utilisation de la machine.

    2. Chaque carte fabriquée par la machine est vendue l,50 €.
      La recette perçue pour la vente de x centaines de cartes vaut donc 1,5x centaines d'euros.
      Vérifier que le bénéfice obtenu, en centaines d'euros, par la vente de x centaines de cartes est donné par Bx=0,5x-1-e-x+0,5.

    1. Montrer que la fonction B est strictement croissante sur l'intervalle 05.

    2. Montrer que, sur l'intervalle 05, l'équation Bx=0 admet une unique solution comprise entre 2,32 et 2,33.

  1. On dira que l'entreprise réalise un bénéfice lorsque Bx>0.
    Indiquer la quantité minimale qui doit figurer sur le carnet de commandes de l'entreprise pour que celle-ci puisse réaliser un bénéfice.



Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.