sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2014

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

partie a

Dans cette partie aucune justification n'est demandée. Par lecture graphique :

1. Donner les valeurs de $f\left(0\right)$ et $f\prime \left(0\right)$.

   Le point G a pour coordonnées $\left(0;2\right)$ d'où $f\left(0\right)=2$.

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   Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente (GH) à la courbe $\left(𝒞\right)$ au point G d'abscisse 0 d'où $f\prime \left(0\right)=1$.

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2. Résoudre sur $\left[-1;2\right]$ l'inéquation $f\prime \left(x\right)⩽0$.

   La fonction f est décroissante sur l'intervalle $\left[\ln 2;2\right]$ par conséquent :

   l'ensemble solution de l'inéquation $f\prime \left(x\right)⩽0$ est l'intervalle $\left[\ln 2;2\right]$.

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3. Encadrer par deux entiers consécutifs l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique.

   Soit A l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique alors $2⩽A⩽3$.

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partie b

On admet que la fonction f est définie sur $\left[-1;2\right]$ par $f\left(x\right)=ax+b-{\mathrm{e}}^x$ où a et b sont deux réels.

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   $f\prime$ est la fonction définie sur $\left[-1;2\right]$ par $f\prime \left(x\right)=a-{\mathrm{e}}^x$.

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2. Justifier que $a=2$ et $b=3$.

   • $f\left(0\right)=2$ d'où $$\begin{array}{ccc}b-{\mathrm{e}}^0=2& \iff & b=3\end{array}$$

   • Pour déterminer a, on peut utiliser la réponse de la première question $f\prime \left(0\right)=1$ ou le fait que courbe $\left(𝒞\right)$ admet une tangente horizontale au point S d'abscisse $\ln 2$ c'est à dire que $f\prime \left(\ln 2\right)=0$.

     $\begin{array}{lll}f\prime \left(0\right)=1& \iff & a-{\mathrm{e}}^0=1\\ & \iff & a=2\end{array}$

     $\begin{array}{lll}f\prime \left(\ln 2\right)=0& \iff & a-{\mathrm{e}}^{\ln 2}=0\\ & \iff & a=2\end{array}$

   f est la fonction définie sur $\left[-1;2\right]$ par $f\left(x\right)=2x+3-{\mathrm{e}}^x$.

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3. Déterminer, sur $\left[-1;2\right]$, une primitive F de la fonction f.

   Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur $\left[-1;2\right]$ par $F\left(x\right)=x^2+3x-{\mathrm{e}}^x$.

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4. En déduire la valeur exacte, en unités d'aire, de l'aire du domaine hachuré sur le graphique.

   • On peut admettre par lecture graphique que la fonction f est positive sur l'intervalle $\left[0;1\right]$ ou

   • étudier le signe de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;1\right]$ à partir des variations de la fonction.

     La dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur $\left[-1;2\right]$ par $f\prime \left(x\right)=2-{\mathrm{e}}^x$.$$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)⩽0& \iff & 2-{\mathrm{e}}^x⩽0\\ & \iff & {\mathrm{e}}^x⩾2\\ & \iff & x⩾\ln 2\end{array}$$

     Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

     x	0		$\ln 2$		1
     $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
     $f\left(x\right)$	2		$1+2\ln 2$		$5-\mathrm{e}$

     D'après le tableau de variation, la fonction f est positive sur l'intervalle $\left[0;1\right]$

   La fonction f est continue et positive sur l'intervalle $\left[0;1\right]$ alors l'aire A, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, la droite d'équation $x=1$ et la courbe $\left(𝒞\right)$ est :$$\begin{array}{ccc}A={\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(1\right)-F\left(0\right)\hfill \\ & =& \left(4-\mathrm{e}\right)-\left(-1\right)\hfill \\ & =& 5-\mathrm{e}\hfill \end{array}$$

   L'aire du domaine hachuré sur le graphique est égale à $\left(5-\mathrm{e}\right)$ unités d'aire.

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