Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2014

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Un parc de loisirs propose à ses visiteurs des parcours d'accrobranches.
Les différents parcours sont modélisés par le graphe Γ ci-dessous où les sommets correspondent aux cinq arbres marquant leurs extrémités. Chaque parcours est représenté par une arête du graphe et peut être réalisé dans les deux sens.

Graphe chaîne eulérienne : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. L'organisateur du parc de loisirs souhaite que les visiteurs puissent, s'ils le souhaitent, réaliser un itinéraire complet d'accrobranches, c'est-à-dire un itinéraire empruntant une fois et une seule chaque parcours et en commençant cet itinéraire par l'arbre numéro 1.
    Justifier que ce souhait est réalisable et proposer un tel itinéraire.

    Réaliser un itinéraire empruntant une fois et une seule chaque parcours et en commençant cet itinéraire par l'arbre numéro 1 c'est chercher si il existe une chaîne eulérienne commençant par le sommet 1. Or :

    • La chaîne 1 - 4 - 2 - 3 - 5 contient tous les sommets du graphe. Par conséquent, pour toute paire de sommets distincts, il existe une chaîne les reliant donc le graphe 𝒢 est connexe.

    • Deux sommets de ce graphe sont de degré impair, les sommets 1 et 5.

    Le graphe est connexe et il n'y a que deux sommets 1 et 5 de degré impair, il existe donc une chaîne eulérienne d'extrémités 1 et 5.
    Il est possible réaliser un itinéraire complet d'accrobranches et en commençant cet itinéraire par l'arbre numéro 1. Par exemple l'itinéraire 1 - 2 - 3 - 5 - 1 - 4 - 2 - 5.


  2. On note M la matrice associée au graphe Γ en considérant les sommets pris dans l'ordre croissant des numéros d'arbres.

    1. Écrire la matrice M.

      La matrice d'adjacence du graphe est M=(0101110111010011100011100)


    2. On donne les matrices M2=(3221124112212111112212123) et M3=(4735776667362355632377534).
      L'organisateur du parc de loisir souhaite organiser des « itinéraires express » qui débuteront à l'arbre numéro 1, emprunteront trois parcours d'accrobranches et finiront à l'arbre 4. Ces itinéraires peuvent éventuellement emprunter plusieurs fois le même parcours. Déterminer, en justifiant votre résultat, le nombre « d'itinéraires express » réalisables.
      (On ne demande pas de donner ces différents itinéraires)

      Le terme de la matrice M3 situé à l'intersection de la première ligne et de la quatrième colonne est égal à 5. Il existe cinq « itinéraires express ».


  3. Pour terminer ces « itinéraires express », on installe un toboggan géant sur l'arbre 4.
    La forme de ce toboggan est modélisée par une fonction f dont la courbe 𝒞 est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé.

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Cette courbe passe par les points I, J et K de coordonnées respectives (2;8,1), (10;2,5) et (20;0).

    La fonction f est définie sur [0;20] par f(x)=ax2+bx+ca, b et c sont trois nombres réels.

    1. Justifier que a, b et c sont solutions du système : {400a+20b+c=0100a+10b+c=2,54a+2b+c=8,1

      • f(2)=8,1 d'où 4a+2b+c=8,1.

      • f(10)=2,5 d'où 100a+10b+c=2,5.

      • f(20)=0 d'où 400a+20b+c=0.

        Ainsi, a, b et c sont solutions du système : {400a+20b+c=0100a+10b+c=2,54a+2b+c=8,1


    2. Déterminer les matrices X et V pour que le système précédent soit équivalent à UX=V et U=(400201100101421).

      Soit U=(400201100101421), X=(abc) et V=(02,58,1) alors, le système s'écrit sous la forme matricielle U×X=V.


    3. Déterminer a, b et c.

      À l'aide de la calculatrice, on vérifie que la matrice U est inversible donc : U×X=VU-1×U×X=U-1×VX=U-1×V

      Soit X=(0,025-110)

      f est la fonction définie sur [0;20] par f(x)=0,025x2-x+10.



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