sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2014

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

1. 1. Déterminer $f\prime \left(x\right)$ sur $\left[1;10\right]$.

      D'après le resultat fourni par le logiciel :

      $f\prime$ est la fonction définie sur $\left[1;10\right]$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1-\ln \left(x\right)}{x^2}}$.

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   2. Construire le tableau de variation de la fonction f sur $\left[1;10\right]$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Comme pour tout réel $x⩾1$, $x^2⩾1$, il s'ensuit, que sur l'intervalle $\left[1;10\right]$, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $1-\ln \left(x\right)$.

      $$\begin{array}{lll}1-\ln \left(x\right)⩽0& \iff & \ln \left(x\right)⩾1\\ & \iff & x⩾\mathrm{e}\end{array}$$

      Nous pouvons établir le tableau des variations de la fonction f :

      x	1		e		10
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$	0		$\frac{1}{\mathrm{e}}$		$\frac{\ln 10}{10}$

2. 1. Justifier que $f″\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)-3}{x^3}}$ sur $\left[1;10\right]$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[1;10\right]$ : $$f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1-\ln \left(x\right)}{x^2}}={\displaystyle \frac{1}{x^2}}-{\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{x^2}}$$

      D'après les resultats obtenus par le logiciel : $$f″\left(x\right)=\left(-{\displaystyle \frac{2}{x^3}}\right)-\left({\displaystyle \frac{1-2\ln \left(x\right)}{x^3}}\right)={\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)-3}{x^3}}$$

      Ainsi, $f″$ est la fonction définie sur $\left[1;10\right]$ par $f″\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)-3}{x^3}}$.

      ---

   2. Étudier le signe de $f″$ sur $\left[1;10\right]$.

      Comme pour tout réel $x⩾1$, $x^3⩾1$, il s'ensuit, que sur l'intervalle $\left[1;10\right]$, $f″\left(x\right)$ est du même signe que $2\ln \left(x\right)-3$.

      $$\begin{array}{lll}2\ln \left(x\right)-3⩽0& \iff & \ln \left(x\right)⩽{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ & \iff & x⩽{\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}\end{array}$$

      Nous pouvons en déduire le tableaudu signe de $f″\left(x\right)$ :

      x	1		${\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}$		10
      $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+

      ---

   3. En déduire que la courbe $𝒞$ possède un point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.

      La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour $x={\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}$ donc la courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion d'abscisse ${\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}$.

      ---

3. On considère l'algorithme suivant :

   initialisation :	X prend la valeur 2 Y prend la valeur ${\displaystyle \frac{\ln 2}{2}}$ Z prend la valeur ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{2,1}}{\mathrm{2,1}}}$
   traitement :	Tant que $Y<Z$ Faire X prend la valeur $X+\mathrm{0,1}$ Y prend la valeur ${\displaystyle \frac{\ln X}{X}}$ Z prend la valeur ${\displaystyle \frac{\ln \left(X+\mathrm{0,1}\right)}{X+\mathrm{0,1}}}$ Fin Tant que
   Sortie :	Afficher X

   1. Recopier et compléter le tableau suivant où les résultats sont arrondis au dix millième :

      X	Y	Z	Test : $Y<Z$
      2	0,3466	0,3533	vrai
      2,1	0,3533	0,3584	vrai
      2,2	0,3584	0,3621	vrai
      2,3	0,3621	0,3648	vrai
      2,4	0,3648	0,3665	vrai
      2,5	0,3665	0,3675	vrai
      2,6	0,3675	0,3679	vrai
      2,7	0,3679	0,3677	faux

   2. Quelle est la valeur affichée en sortie ? Que représente-t-elle pour la fonction f ?

      La valeur affichée en sortie est 2,7. En tenant compte du tableau de variation de la fonction f, on en déduit que le maximum de la fonction f est atteint pour une valeur comprise entre 2,7 et 2,8.

      ---

      remarque :

      L'étude préalable des variations de la fonction f est nécessaire pour concevoir l'algorithme.

      En effet, considérons une fonction f définie sur l'intervalle $\left[1;10\right]$ et dont une partie de la courbe représentative est donnée ci-dessous.

      Avec la condition $f\left(x\right)<f\left(x+\mathrm{0,1}\right)$ de l'algorithme précédent, on obtiendrait le même résultat 2,7 mais on ne pourrait pas conclure que le maximum de la fonction f est atteint pour une valeur comprise entre 2,7 et 2,8.

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