Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Nouvelle Calédonie mars 2015

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie pour tout réel x de l'intervalle [1,5;6] par f(x)=(25x-32)e-x.


On a utilisé un logiciel pour déterminer, sur l'intervalle [1,5;6], sa fonction dérivée f et sa fonction dérivée seconde f.
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan.
On a obtenu les résultats suivants qui pourront être utilisés sans justification dans tout l'exercice.

  • f(x)=(57-25x)e-x.
  • f(x)=(25x-82)e-x.
    1. Étudier le signe de f(x) sur l'intervalle [1,5;6].

      f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle [1,5;6] par f(x)=(57-25x)e-x.
      Comme pour tout réel x, e-x>0, on en déduit que f(x) est du même signe que (57-25x) sur l'intervalle [1,5;6]. D'où le tableau du signe de f(x) sur l'intervalle [1,5;6] :

      x1,5 5725 6
      f(x) +0|| 

    2. En déduire le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [1,5;6] (Les valeurs seront, si nécessaire, arrondies au centième).

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      x1,5 2,28 6
      f(x) +0|| 
      f(x)

      1,23

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      2,56

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      0,29

  1. Montrer que, sur l'intervalle [1,5;6], la courbe C admet un unique point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.

    f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle [1,5;6] par f(x)=(25x-82)e-x.
    Comme pour tout réel x, e-x>0, on en déduit que f(x) est du même signe que (25x-82) sur l'intervalle [1,5;6]. D'où le tableau du signe de f(x) sur l'intervalle [1,5;6] :

    x1,5 8225 6
    f(x) 0||+ 

    La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour x=3,28 par conséquent, la courbe C admet un unique point d'inflexion d'abscisse 3,28.


  2. Dans cette question, on s'intéresse à l'équation f(x)=1.

    1. Justifier que l'équation f(x)=1 admet une unique solution α sur l'intervalle [4;5].

      Sur l'intervalle [4;5], la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante avec f(4)1,25 et f(5)0,63 alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique α située dans l'intervalle [a;b].

      l'équation f(x)=1 admet une unique solution α[4;5].


    2. On a écrit l'algorithme suivant permettant de déterminer une valeur approchée de la solution de l'équation f(x)=1 sur l'intervalle [4;5].

      Initialisation :a prend la valeur 4
      b prend la valeur 5
      Traitement :Tant que b-a>0,1 Faire

      y prend la valeur f(a+b2)
      Si y>1
      Alors a prend la valeur a+b2
      Sinon b prend la valeur a+b2

      Fin de Tant que
      Sortie :Afficher a+b2

      Exécuter l'algorithme précédent en complétant le tableau donné en annexe ci dessous.

      a+b2y à 10-3 prèsabb-aSortieremarques
      Initialisation451
      1re boucle « Tant que »4,50,89444,50,5

      b-a=1 donc la condition b-a>0,1 est Vraie : exécution de la boucle.
      y<1 alors b prend la valeur 4,5.

      2e boucle « Tant que »4,251,0594,254,50,25

      b-a=0,5 donc la condition b-a>0,1 est Vraie : exécution de la boucle.
      y>1 alors a prend la valeur 4,25.

      3e boucle « Tant que »4,3750,9744,254,3750,125

      b-a=0,25 donc la condition b-a>0,1 est Vraie : exécution de la boucle.
      y<1 alors b prend la valeur 4,375.

      4e boucle « Tant que »4,31251,0164,31254,3750,06254,34375

      b-a=0,125 donc la condition b-a>0,1 est Vraie : exécution de la boucle.
      b-a<0,1 et y>1 alors a prend la valeur 4,3125.
      b-a=0,0625 donc la condition b-a>0,1 est Fausse : Sortie de la boucle.

    3. Donner une valeur approchée de α au dixième.

      La valeur obtenue en sortie de l'algorithme est 4,34375 donc une valeur approchée au dixième près de α est α4,3.



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