On considère la fonction f définie pour tout réel x de l'intervalle par .
Étudier le signe de sur l'intervalle .
est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle par .
Comme pour tout réel x, , on en déduit que est du même signe que sur l'intervalle . D'où le tableau du signe de sur l'intervalle :
x | 1,5 | 6 | |||
+ | − |
En déduire le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle (Les valeurs seront, si nécessaire, arrondies au centième).
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
x | 1,5 | 2,28 | 6 | ||
+ | − | ||||
Montrer que, sur l'intervalle , la courbe C admet un unique point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.
est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle par .
Comme pour tout réel x, , on en déduit que est du même signe que sur l'intervalle . D'où le tableau du signe de sur l'intervalle :
x | 1,5 | 6 | |||
− | + |
La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour par conséquent, la courbe C admet un unique point d'inflexion d'abscisse 3,28.
Dans cette question, on s'intéresse à l'équation .
Justifier que l'équation admet une unique solution α sur l'intervalle .
Sur l'intervalle , la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante avec et alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle .
l'équation admet une unique solution .
On a écrit l'algorithme suivant permettant de déterminer une valeur approchée de la solution de l'équation sur l'intervalle .
Initialisation : | a prend la valeur 4 |
b prend la valeur 5 | |
Traitement : | Tant que Faire |
y prend la valeur | |
Fin de Tant que | |
Sortie : | Afficher |
Exécuter l'algorithme précédent en complétant le tableau donné en annexe ci dessous.
y à près | a | b | Sortie | remarques | |||
Initialisation | 4 | 5 | 1 | ||||
1re boucle « Tant que » | 4,5 | 0,894 | 4 | 4,5 | 0,5 | donc la condition est Vraie : exécution de la boucle. | |
2e boucle « Tant que » | 4,25 | 1,059 | 4,25 | 4,5 | 0,25 | donc la condition est Vraie : exécution de la boucle. | |
3e boucle « Tant que » | 4,375 | 0,974 | 4,25 | 4,375 | 0,125 | donc la condition est Vraie : exécution de la boucle. | |
4e boucle « Tant que » | 4,3125 | 1,016 | 4,3125 | 4,375 | 0,0625 | 4,34375 | donc la condition est Vraie : exécution de la boucle. |
Donner une valeur approchée de α au dixième.
La valeur obtenue en sortie de l'algorithme est 4,34375 donc une valeur approchée au dixième près de α est .
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