sujet : Nouvelle Calédonie mars 2015

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Une entreprise est spécialisée dans la distribution de pommes et la fabrication de jus de pomme. Elle s'approvisionne en pommes auprès de différents producteurs régionaux.
L'entreprise dispose d'une machine destinée à tester la conformité des pommes ; celles que la machine accepte seront vendues sans transformation ; les autres serviront à produire du jus de pomme en bouteille.

partie a : sélection des pommes

Traduisons les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre :

• 86 % des pommes fournies par les différents producteurs sont conformes d'où $P\left(C\right)=\mathrm{0,86}$ et $P\left(\overline{C}\right)=1-\mathrm{0,86}=\mathrm{0,14}$

• 3 % des pommes effectivement conformes sont rejetées à tort par la machine d'où $P_C\left(\overline{T}\right)=\mathrm{0,03}$ et $P_C\left(T\right)=1-\mathrm{0,03}=\mathrm{0,97}$.

• 2 % des pommes non conformes sont acceptées à tort par la machine d'où $P_{\overline{C}}\left(T\right)=\mathrm{0,02}$ et $P_{\overline{C}}\left(\overline{T}\right)=1-\mathrm{0,02}=\mathrm{0,98}$.

D'où l'arbre pondéré rendant compte de cette situation :

1. Déterminer la probabilité que la pomme prélevée soit conforme et soit acceptée par la machine.

   $$\begin{array}{ll}& P\left(C\cap T\right)=P_C\left(T\right)\times P\left(C\right)\\ \text{Soit}& P\left(C\cap T\right)=\mathrm{0,97}\times \mathrm{0,86}=\mathrm{0,8342}\end{array}$$

   La probabilité que la pomme prélevée soit conforme et soit acceptée par la machine est égale à 0,8342.

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2. Montrer que $P\left(T\right)$,la probabilité de T, est égale à 0,837.

   Les évènements C et T sont relatifs à la même épreuve. D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$P\left(T\right)=P\left(T\cap C\right)+P\left(T\cap \overline{C}\right)$$

   Or $$\begin{array}{ll}& P\left(T\cap \overline{C}\right)=P_{\overline{C}}\left(T\right)\times P\left(\overline{C}\right)\\ \text{Soit}& P\left(T\cap \overline{C}\right)=\mathrm{0,02}\times \mathrm{0,14}=\mathrm{0,0028}\end{array}$$

   D'où, $$\begin{array}{lll}P\left(T\right)& =& P\left(T\cap C\right)+P\left(T\cap \overline{C}\right)\\ & =& \mathrm{0,8342}+\mathrm{0,0028}\\ & =& \mathrm{0,837}\end{array}$$

   La probabilité qu'une pomme prélevée soit acceptée par la machine est égale à 0,837.

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3. La pomme prélevée est acceptée par la machine. Quelle est la probabilité qu'elle soit conforme ? (On donnera une valeur décimale approchée au millième)

   Il s'agit, de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement C sachant que l'évènement T est réalisé. $$\begin{array}{lll}{P}_T\left(C\right)={\displaystyle \frac{P\left(T\cap C\right)}{P\left(T\right)}}& \text{Soit}& P_T\left(C\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,8342}}{\mathrm{0,837}}}\approx \mathrm{0,997}\end{array}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité qu'une pomme acceptée par la machine soit conforme est 0,997.

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partie b : contrôle d'un fournisseur

L'entreprise a un doute sur la qualité des pommes fournies par l'un de ses fournisseurs, et elle envisage de s'en séparer.
Elle procède donc à un contrôle en prélevant, au hasard, un échantillon de 80 pommes et en vérifiant manuellement la conformité de chaque pomme.
On formule l'hypothèse que 86 % des pommes de ce fournisseur sont conformes.

1. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de pommes conformes contenues dans un lot de 80 pommes. (les bornes de l'intervalle seront arrondies au millième).

   Comme $n=80$, $n\times p=80\times \mathrm{0,86}=\mathrm{68,8}$ et $n\times \left(1-p\right)=80\times \mathrm{0,14}=\mathrm{11,2}$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,86}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,86}\times \mathrm{0,14}}{80}}};\mathrm{0,86}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,86}\times \mathrm{0,14}}{80}}}\right]\end{array}$$

   Soit en arrondissant à ${10}^{-3}$ près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de pommes conformes contenues dans un lot de 80 pommes est $I=\left[\mathrm{0,783};\mathrm{0,937}\right]$.

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2. L'entreprise a constaté que seulement 65 pommes de l'échantillon étaient conformes. Quelle décision est-elle amenée à prendre ?

   La fréquence observée de pommes conformes contenues dans l'échantillon est $f={\displaystyle \frac{65}{80}}=\mathrm{0,8125}$

   La fréquence observée appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%, la qualité des pommes fournies par ce fournisseur n'est pas remise en question. L'entreprise peut ne pas s'en séparer.

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