sujet : Nouvelle Calédonie mars 2015

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

On considère la fonction g, définie et dérivable sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$, et telle que pour tout nombre réel x, on a :$$g\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)+1}{x}}$$ On note $g\prime$ sa fonction dérivée et Γ sa courbe représentative dans le repère ci-dessous.
Soit B le point de Γ d'abscisse 1 ; la droite (OB) est tangente en B à la courbe Γ.

1. Déterminer les coordonnées exactes du point A, point d'intersection de la courbe Γ avec l'axe des abscisses.

   L'abscisse x du point A est solution de l'équation $g\left(x\right)=0$. Soit $$\begin{array}{lllll}2\ln \left(x\right)+1=0& \iff & \ln \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & x={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}}\end{array}$$

   Le point d'intersection de la courbe Γ avec l'axe des abscisses a pour coordonnées $A\left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}};0\right)$.

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2. 1. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$, on a $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1-2\ln \left(x\right)}{x^2}}$.

      g est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $g={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $g\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+1& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=1\end{array}$

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$, $$\begin{array}{cccc}g\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{x}}\times x-\left(2\ln \left(x\right)+1\right)\times 1}{x^2}}\hfill & \\ & =& {\displaystyle \frac{2-2\ln \left(x\right)-1}{x^2}}\hfill & \\ & =& {\displaystyle \frac{1-2\ln \left(x\right)}{x^2}}\hfill & \end{array}$$

      $g\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ par $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1-2\ln \left(x\right)}{x^2}}$.

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   2. Étudier le signe de $g\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$, $x^2>0$ donc $g\prime \left(x\right)$ est du même signe que $1-2\ln \left(x\right)$. Or $$\begin{array}{lllllll}1-2\ln \left(x\right)⩽0& \iff & -2\ln \left(x\right)⩽-1& \iff & \ln \left(x\right)⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & x⩾\sqrt{\mathrm{e}}\end{array}$$

      D'où le tableau du signe de $g\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ :

      x	0,5		$\sqrt{\mathrm{e}}$		5
      $g\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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   3. En déduire les variations de g sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      x	0,5		$\sqrt{\mathrm{e}}$		5
      $g\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $g\left(x\right)$	$2-4\ln 2$		$2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}}$		${\displaystyle \frac{2\ln 5+1}{5}}$

3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Γ au point B d'abscisse 1.

   Le point B d'abscisse 1 appartient à la courbe Γ$$g\left(1\right)={\displaystyle \frac{2\ln \left(1\right)+1}{1}}=1$$ Le point B a pour coordonnées $B\left(1;1\right)$. Comme la droite (OB) est tangente à la courbe Γ on en déduit :

   la tangente à la courbe Γ au point B d'abscisse 1 a pour équation $y=x$.

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4. 1. On note 𝒟 le domaine défini par l'axe des abscisses, la courbe Γ et les droites d'équation $x=1$ et $x=3$.
      Par lecture graphique, encadrer par deux entiers l'aire de 𝒟, exprimée en unités d'aire.

      L'aire du domaine 𝒟 défini par l'axe des abscisses, la courbe Γ et les droites d'équation $x=1$ et $x=3$ est comprise entre l'aire de deux rectangles de côtés $2\times 1$ et $2\times \mathrm{1,5}$.

      Soit 𝒜 l'aire en unités d'aire du domaine 𝒟 : $2<𝒜<3$.

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   2. On définit la fonction G sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ par $G\left(x\right)=\ln \left(x\right)\left[\ln \left(x\right)+1\right]$. Montrer que G est une primitive de g sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$.

      • méthode 1

        G est dérivable comme produit de fonctions dérivables. $G=uv$ d'où $G\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=\ln \left(x\right)\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\hfill \\ v\left(x\right)=\ln \left(x\right)+1\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\hfill \end{array}$

        Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$, $$\begin{array}{ccc}G\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{1}{x}}\times \left(\ln \left(x\right)+1\right)+\ln \left(x\right)\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)+1}{x}}\hfill \end{array}$$

        Pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$, $G\prime \left(x\right)=g\left(x\right)$ donc la fonction G est une primitive de la fonction g sur $\left[\mathrm{0,5};5\right]$.

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      • méthode 2

        Pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$, $$g\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)+1}{x}}=2\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\times \ln \left(x\right)+{\displaystyle \frac{1}{x}}$$ Posons $u\left(x\right)=\ln \left(x\right)$ d'où $u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ et $g=2uu\prime +u\prime$. Donc une primitive G de la fonction g est de la forme $$G=u^2+u$$ Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$, $$G\left(x\right)={\left(\ln \left(x\right)\right)}^2+\ln \left(x\right)=\ln \left(x\right)\times \left[\ln \left(x\right)+1\right]$$

        Une primitive de la fonction g est la fonction G définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ par $G\left(x\right)=\ln \left(x\right)\left[\ln \left(x\right)+1\right]$.

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   3. Déterminer l'aire de 𝒟 exprimée en unités d'aire.

      La fonction g est continue et positive sur l'intervalle $\left[1;3\right]$ alors l'aire A, en unités d'aire, du domaine 𝒟 délimité par l'axe des abscisses, la courbe Γ et les droites d'équation $x=1$ et $x=3$ est :$$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_1^{3}g\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& G\left(3\right)-G\left(1\right)\hfill \\ & =& \left(\ln 3\times \left[\ln 3+1\right]\right)-\left(\ln 1\times \left[\ln 1+1\right]\right)\hfill \\ & =& {\left(\ln 3\right)}^2+\ln 3\hfill \end{array}$$

      L'aire du domaine 𝒟 est égale à ${\left(\ln 3\right)}^2+\ln 3$ unités d'aire.

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