sujet : Nouvelle Calédonie mars 2015

Corrigé de l'exercice 4 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Une société est spécialisée dans la vente en ligne de produits de haute technologie sur internet.

partie a

1. Pour une journée promotionnelle donnée, on note V, l'évènement « le client a visité le site internet lors de la journée promotionnelle ».
   Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets V et $\overline{V}$.

   • Trois clients sur cinq ayant visité le site internet lors d'une journée promotionnelle, le visitent à nouveau lors de la journée promotionnelle suivante d'où $p_{V_n}\left(V_{n+1}\right)={\displaystyle \frac{3}{5}}=\mathrm{0,6}$ et $p_{V_n}\left({\overline{V}}_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}$.

   • Un client sur cinq n'ayant pas visité le site internet lors d'une journée promotionnelle, le visite lors de la journée promotionnelle suivante d'où $p_{{\overline{V}}_n}\left(V_{n+1}\right)={\displaystyle \frac{1}{5}}=\mathrm{0,2}$ et $p_{{\overline{V}}_n}\left({\overline{V}}_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,8}$.

   D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

2. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en prenant les sommets V et $\overline{V}$ dans cet ordre.

   La matrice de transition M de ce graphe telle que $\left(\begin{array}{cc}{x}_{n+1}& y_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{x}_n& y_n\end{array}\right)\times M$ est $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}\hfill & \mathrm{0,4}\hfill \\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$.

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3. En remarquant que $P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,05}& \mathrm{0,95}\end{array}\right)$, déterminer $P_2$. Interpréter ce résultat.

   L'état probabiliste la deuxième journée de promotion est $$P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,05}& \mathrm{0,95}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}\hfill & \mathrm{0,4}\hfill \\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,22}& \mathrm{0,78}\end{array}\right)$$.

   $P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,22}& \mathrm{0,78}\end{array}\right)$, 22 % des clients ont visité le site internet de la société lors de la deuxième journée de promotion.

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4. On admet que le taux de visites se stabilise à long terme. Montrer que $\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\right)$ est un état stable de ce système.

   L'état $P_n=\left(\begin{array}{cc}{x}_n& y_n\end{array}\right)$ converge vers un état stable $P=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $x+y=1$ et vérifiant : $$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}\hfill & \mathrm{0,4}\hfill \\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)& \iff & \left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,2}y& \mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}y\end{array}\right)\end{array}$$

   D'où x et y vérifient la relation $x=\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,2}y$ . Comme d'autre part, $x+y=1$ on en déduit que x et y sont solutions du système : $$\begin{array}{ccccccc}\{\begin{array}{c}x=\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,2}y\hfill \\ x+y=1\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,2}y=0\hfill \\ x+y=1\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}\mathrm{0,6}x=\mathrm{0,2}\hfill \\ x+y=1\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}x={\displaystyle \frac{1}{3}}\hfill \\ y={\displaystyle \frac{2}{3}}\hfill \end{array}\end{array}$$

   L'état stable est $P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\right)$.

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partie b

1. Chaque année la société doit vérifier l'état physique de la fibre optique installée sur son réseau. Un robot inspecte toute la longueur de la fibre optique afin de s'assurer qu'elle ne présente pas de détérioration apparente.
   Peut-il parcourir l'ensemble du réseau en suivant les fibres optiques et en empruntant chaque fibre optique une et une seule fois ? Justifier la réponse.
   Si un tel parcours est possible, préciser par quel(s) routeur(s) du réseau le robot doit commencer son inspection.

   La chaîne C - A - B - E - G - I - H - F - D contient tous les sommets du graphe. Par conséquent, pour toute paire de sommets distincts, il existe une chaîne les reliant donc le graphe est connexe.

   Déterminons le degré de chacun des sommets.

   Sommets	A	B	C	D	E	F	G	H	I
   Degré	4	3	4	2	4	6	4	3	2

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   Le graphe est connexe et il existe deux sommets de degré impair, il existe donc une chaîne eulérienne commençant par un des deux sommets de degré impair (B ou H) et finissant par le deuxième sommet de degré impair. Un robot peut parcourir l'ensemble du réseau en suivant les fibres optiques et en empruntant chaque fibre optique une et une seule fois à condition de commencer l'inspection par le routeur B ou H.

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2. Un ordinateur, relié au routeur A envoie un paquet de données à un ordinateur relié au routeur I.
   Le paquet de données a mis 70 ms pour transiter du routeur A au routeur I. Ce paquet de données a-t-il emprunté le chemin le plus rapide sur le réseau ? Justifier la réponse.

   Déterminons la chaîne de poids minimal entre les sommets A et I à l'aide de l'algorithme de Dijkstra :

   A	B	C	D	E	F	G	H	I	Sommet sélectionné
   0	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	A (0)
   	30 (A)	30 (A)	20 (A)	∞	50 (A)	∞	∞	∞	D (20)
   	30 (A)	30 (A)		∞	50 (A)	∞	∞	∞	B (30)
   		30 (A)		40 (B)	50 (A)	∞	∞	∞	C (30)
   				40 (B)	50 (A)	∞	∞	∞	E (40)
   					50 (A)	80 (E)	∞	∞	F (50)
   						60 (F)	80 (F)	∞	G (60)
   							80 (F)	70 (G)	I (70)

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   Le sommet I étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de I et on "remonte" la chaîne en suivant les prédécesseurs. $I\leftarrow G\leftarrow F\leftarrow A$.

   A - F - G - I est la chaîne de poids minimal 70 entre A et I. Par conséquent, le paquet de données a emprunté le chemin le plus rapide sur le réseau.

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