Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Nouvelle Calédonie mars 2015

Corrigé de l'exercice 4 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Dans une grande entreprise, les commerciaux ont le choix de services de téléphonie mobile exclusivement entre deux opérateurs concurrents : A et B.
On s'intéresse aux parts de marché de ces deux opérateurs chez les commerciaux de cette entreprise.
Chaque commercial dispose d'un seul abonnement chez l'un ou l'autre des opérateurs : A et B.
Les abonnements sont souscrits pour une période d'un an, à partir du 1^er janvier.

Une statistique, menée sur les choix des commerciaux, a révélé que :

parmi les abonnés de l'opérateur A, 18 % d'entre eux, en fin d'année, changent d'opérateur ;
parmi les abonnés de l'opérateur B, 22 % d'entre eux, en fin d'année, changent d'opérateur.

On admet que les mouvements d'abonnés d'un opérateur à l'autre se poursuivront dans ces proportions dans les années à venir.
De plus on sait qu'au 1^er janvier 2014, 40 % des commerciaux avaient souscrit un abonnement chez A et 60 % chez B.

On note, pour tout entier naturel n :

$u_{n}$ la proportion de commerciaux disposant d'un abonnement chez A au 1^er janvier de l'année $2014 + n$ ;
$v_{n}$ la proportion de commerciaux disposant d'un abonnement chez B au 1^er janvier de l'année $2014 + n$ .

On a donc $u_{0} = 0,4$ et $v_{0} = 0,6$ .

Justifier que $u_{n + 1} = 0,82 u_{n} + 0,22 v_{n}$ et que $u_{n} + v_{n} = 1$ .
En fin d'année, l'opérateur A perd 18 % des abonnés et gagne 22 % des abonnés de l'opérateur B d'où $u_{n + 1} = 0,82 u_{n} + 0,22 v_{n}$ .
Chaque commercial dispose d'un seul abonnement chez l'un ou l'autre des opérateurs d'où $u_{n} + v_{n} = 1$ .
Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,82 u_{n} + 0,22 v_{n}$ et que $u_{n} + v_{n} = 1$ .
En déduire que pour tout entier naturel n : $u_{n + 1} = 0,6 u_{n} + 0,22$ .
Pour tout entier naturel n, $v_{n} = 1 - v_{n}$ donc $u_{n + 1} = 0,82 u_{n} + 0,22 \times (1 - u_{n}) = 0,6 u_{n} + 0,22$
Pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,6 u_{n} + 0,22$ .
On considère la suite $(w_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $w_{n} = u_{n} - 0,55$ .
1. Montrer que $(w_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} w_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 0,55 \\ = & 0,6 u_{n} + 0,22 - 0,55 \\ = & 0,6 u_{n} - 0,33 \\ = & 0,6 \times (u_{n} - 0,55) \\ = & 0,6 w_{n} \end{array}$
  Pour tout entier n, $w_{n + 1} = 0,6 w_{n}$ donc $(w_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,6. D'autre part, $\begin{matrix} w_{0} = u_{0} - 0,55 & soit & w_{0} = 0,4 - 0,55 = - 0,15 \end{matrix}$
  Ainsi, $(w_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,6 et de premier terme $w_{0} = - 0,15$ .
2. En déduire l'expression de $w_{n}$ en fonction de n.
  $(w_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,6 et de premier terme $w_{0} = - 0,15$ donc :
  pour tout entier n, $w_{n} = - 0,15 \times {0,6}^{n}$
3. Montrer que pour tout entier naturel n, $u_{n} = 0,55 - 0,15 \times {(0,6)}^{n}$ .
  Comme pour tout entier n, $\begin{matrix} w_{n} = u_{n} - 0,55 & \Leftrightarrow & u_{n} = w_{n} + 0,55 \end{matrix}$
  Donc pour tout entier n, $u_{n} = 0,55 - 0,15 \times {(0,6)}^{n}$ .
Conjecturer la limite de la suite $(u_{n})$ . Comment interpréter ce résultat sur l'évolution des parts de marché dans les années futures ?
$0 < 0,6 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,6}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 0,55 - 0,15 \times {0,6}^{n} = 0,55$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0,55$ .
La suite $(u_{n})$ converge vers 0,55. Par conséquent, au bout d'un certain nombre d'années, 55 % des commerciaux souscriront un abonnement chez A.

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