Baccalauréat 2015 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Nord 2015

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Les parties A et B sont indépendantes.

Un créateur d'entreprise a lancé un réseau d'agences de services à domicile. Depuis 2010, le nombre d'agences n'a fait qu'augmenter. Ainsi, l'entreprise qui comptait 200 agences au 1er janvier 2010 est passée à 300 agences au 1er janvier 2012 puis à 500 agences au 1er janvier 2014.
On admet que l'évolution du nombre d'agences peut être modéliste par une fonction f définie sur [0;+[ par f(x)=ax2+bx+ca, b et c sont trois nombres réels.
La variable x désigne le nombre d'années écoulées depuis 2010 et f(x) exprime le nombre d'agences en centaines. La valeur 0 de x correspond donc à l'année 2010.
Sur le dessin ci-dessous, on a représenté graphiquement la fonction f.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

On cherche à détemüner la valeur des coefficients a, b et c.

    1. À partir des données de l'énoncé, écrire un système d'équations traduisant cette situation.

      • L'entreprise comptait 200 agences au 1er janvier 2010 d'où f(0)=2 soit c=2

      • L'entreprise comptait 300 agences au 1er janvier 2012 d'où f(2)=3 soit 4a+2b+c=3

      • L'entreprise comptait 500 agences au 1er janvier 2014 d'où f(4)=5 soit 16a+4b+c=5

      Ainsi, les coefficients a, b et c sont solutions du système (S){c=24a+2b+c=316a+4b+c=5.


    2. En déduire que le système précédent est équivalent à MX=R avec M=(0014211641), X=(abc) et R une matrice colonne que l'on précisera.

      Posons M=(0014211641), X=(abc) et R=(235) alors, le système (S)s'écrit sous la forme matricielle M×X=R.


  1. On admet que M-1=(-0,125-0,25-0,125-0,75-1-0,25-1-0-0). À l'aide de cette matrice, déterminer les valeurs des coefficients a, b et c, en détaillant les calculs.

    La matrice M est inversible donc : M×X=RM-1×M×X=M-1×RX=M-1×R

    Soit (abc)=(-0,125-0,25-0,125-0,75-1-0,25-1-0-0)×(235)=(0,1250,252)

    f est la fonction définie sur [0;+[ par f(x)=0,125x2+0,25x+2


  2. Suivant ce modèle, déterminer le nombre d'agences que l'entreprise possédera au 1er janvier 2016.

    f(6)=0,125×36+0,25×6+2=8

    L'entreprise possédera 800 agences au 1er janvier 2016.


partie b

Le responsable d'une agence de services à domicile implantée en ville a représenté par le graphe ci-dessous toutes les rues dans lesquelles se trouvent des clients qu'il doit visiter quotidiennement.
Dans ce graphe, les arêtes sont les rues et les sommets sont les intersections des rues.

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Déterminer si le graphe est connexe.

      La chaîne A-D-C-G-H-L-M-O-P-K-J-I-M-N-J-F-E-B contient tous les sommets du graphe. Par conséquent, pour toute paire de sommets distincts, il existe une chaîne les reliant donc le graphe est connexe.


    2. Déterminer si le graphe est complet.

      Les sommets H et I ne sont pas adjacents donc le graphe n'est pas complet.


Ce responsable voudrait effectuer un circuit qui passe une et une seule fois par chaque rue dans laquelle se trouvent des clients.

  1. Déterminer si ce circuit existe dans les deux cas suivants :

    1. Le point d'arrivée est le même que le point de départ.

      Déterminer un circuit qui passe une et une seule fois par chaque rue tel que le point d'arrivée est le même que le point de départ, c'est chercher s'il existe un cycle eulérien.

      Les sommets H et I sont de degré impair par conséquent, il n'existe pas de cycle eulérien. Donc un tel parcours n'est pas possible.


    2. Le point d'arrivée n'est pas le même que le point de départ.

      Déterminer un circuit qui passe une et une seule fois par chaque rue, c'est chercher s'il existe une chaîne eulérienne.

      Le graphe est connexe et il n'y a que deux sommets H et I de degré impair par conséquent, il existe une chaîne eulérienne. Donc un tel parcours est possible.


      Graphe, chaîne eulérienne : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.