sujet : Antilles Guyane 2015

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

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1. La fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x^3+6x^2$ est convexe sur l'intervalle :

   La fonction f est dérivable et pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)=3x^2+12x$.

   $f\prime$ est une fonction polynôme du second degré décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;-2\right]$ et croissante sur l'intervalle $\left[-2;+\infty \right[$

   La convexité de la fonction f se déduit des variations de sa dérivée :

   x	$-\infty$		$-2$		$+\infty$
   variations de $f\prime$
   Convexité de f		f est concave		f est convexe

   ---

   a. $\left]-\infty ;+\infty \right[$

   b. $\left[-2;+\infty \right[$

   c. $\left]-\infty ;-2\right]$

   d. $\left[-6;+\infty \right[$

2. Soit la fonction g définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=\left(x-2\right){\mathrm{e}}^x$. L'équation $g\left(x\right)=0$ admet sur $ℝ$ :

   Pour tout réel x on a : ${\mathrm{e}}^x>0$. Par conséquent, pour tout réel x,$$\begin{array}{rcl}g\left(x\right)=0& \iff & \left(x-2\right){\mathrm{e}}^x=0\\ & \iff & \left(x-2\right)=0\\ & \iff & x=2\end{array}$$

   a. aucune solution

   b. une seule solution

   c. exactement deux solutions

   d. plus de deux solutions

3. On pose : $I={\displaystyle {\int }_0^1-2x{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x}$. La valeur de I est :

   $$\begin{array}{rcl}I={\displaystyle {\int }_0^1-2x{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[{\mathrm{e}}^{-x^2}\right]}_0^1}\\ & =& {\mathrm{e}}^{-1}-{\mathrm{e}}^0\\ & =& {\mathrm{e}}^{-1}-1\end{array}$$

   a. $1-{\mathrm{e}}^{-1}$

   b. ${\mathrm{e}}^{-1}-1$

   c. $-{\mathrm{e}}^{-1}$

   d. ${\mathrm{e}}^{-1}$

4. La fonction h est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $h\left(x\right)=\left(2x+4\right)\ln x$. On note $h\prime$ la fonction dérivée de la fonction h.
   Pour tout nombre x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $h\prime \left(x\right)$ est égale à :

   La fonction h est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables sur $\left]0;+\infty \right[$ :
   $h=uv$ d'où $h\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x strictement positif, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=2x+4& \text{;}& u\prime \left(x\right)=2\\ v\left(x\right)=\ln x& \text{;}& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\end{array}$

   Soit pour tout réel x strictement positif : $$\begin{array}{ccccc}h\prime \left(x\right)& =& 2\ln x+\left(2x+4\right)\times {\displaystyle \frac{1}{x}}& =& 2\ln x+{\displaystyle \frac{2x+4}{x}}\end{array}$$

   a. ${\displaystyle \frac{2}{x}}$

   b. $2\ln x+{\displaystyle \frac{4}{x}}$

   c. ${\displaystyle \frac{2x+4}{x}}$

   d. $2\ln x+{\displaystyle \frac{2x+4}{x}}$

5. Le prix d'une action a augmenté chaque mois de 5 % et cela pendant 3 mois consécutifs.
   Globalement, le prix de l'action a été multiplié par :

   Le coefficient multiplicateur associé à trois augmentations successives de 5 % est $${\left(1+{\displaystyle \frac{5}{100}}\right)}^3={\mathrm{1,05}}^3$$

   a. ${\mathrm{1,05}}^3$

   b. 1,15

   c. $3\times \mathrm{1,05}$

   d. 1,45

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