Baccalauréat 2015 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Antilles Guyane 2015

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

En 2010, un opérateur de téléphonie mobile avait un million de clients. Depuis, chaque année, l'opérateur perd 10 % de ses clients, mais regagne dans le même temps 60000 nouveaux clients.

On donne l'algorithme ci-dessous. Expliquer ce que l'on obtient avec cet algorithme.

variables :

k, NbClients

traitement :

Affecter à k la valeur 0
Affecter à NbClients la valeur 1 000 000

Tant que $k < 8$

Affecter à k la valeur k + 1
Affecter à NbClients la valeur 0,9 × NbClients + 60000
Afficher NbClients

Fin Tant que

Cet algorithme affiche le nombre de clients pour les valeurs de $k = 1$ à $k = 8$ .

Cet algorithme affiche le nombre de clients de cet opérateur pour les années 2011 à 2018

Recopier et compléter le tableau ci-dessous avec toutes les valeurs affichées pour k de 0 jusqu'à 5.
L'affichage du nombre de clients se fait après avoir incrémenter la valeur de k. Deux types de réponses sont possibles :
- La première valeur affichée est pour $k = 1$
  k 0 1 2 3 4 5
  NbClients Pas d'affichage 960 000 924 000 891 600 862 440 836 196
- On considère dans le tableau que la valeur de k est celle d'entrée dans la boucle :
  k 0 1 2 3 4 5
  NbClients 960 000 924 000 891 600 862 440 836 196 812 576,4

En supposant que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être modélisée par la suite $(U_{n})$ définie pour tout entier naturel n, par : ${\begin{cases} U_{0} = 1000 \\ U_{n + 1} = 0,9 U_{n} + 60 \end{cases}$ Le terme $U_{n}$ donne une estimation du nombre de clients, en millier, pour l'année 2010 + n.
Pour étudier la suite $(U_{n})$ , on considère la suite $(V_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $V_{n} = U_{n} - 600$ .
1. Montrer que la suite $(V_{n})$ est géométrique de raison 0,9.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} V_{n + 1} & = & U_{n + 1} - 600 \\ = & 0,9 U_{n} + 60 - 600 \\ = & 0,9 U_{n} - 540 \\ = & 0,9 \times (U_{n} - 600) \\ = & 0,9 V_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $V_{n + 1} = 0,9 V_{n}$ donc $(V_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,9.
2. Déterminer l'expression de $V_{n}$ en fonction de n.
  $V_{0} = U_{0} - 600$ . Soit $V_{0} = 1000 - 600 = 400$ .
  $(V_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme $V_{0} = 400$ donc :
  Pour tout entier n, $V_{n} = 400 \times {0,9}^{n}$ .
3. Montrer que pour tout entier naturel n, on a $U_{n} = 400 \times {0,9}^{n} + 600$ .
  Pour tout entier n, $\begin{matrix} V_{n} = U_{n} - 600 & \Leftrightarrow & U_{n} = V_{n} + 600 \end{matrix}$
  Ainsi, pour tout entier n, $U_{n} = 400 \times {0,9}^{n} + 600$ .
4. Montrer que la suite $(U_{n})$ est décroissante. Interpréter le résultat dans le contexte de ce problème.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{rcl} U_{n + 1} - U_{n} & = & (400 \times {0,9}^{n + 1} + 600) - (400 \times {0,9}^{n} + 600) \\ = & 400 \times {0,9}^{n + 1} - 400 \times {0,9}^{n} \\ = & 400 \times {0,9}^{n} \times (0,9 - 1) \\ = & - 40 \times {0,9}^{n} \end{array}$
  Comme pour tout entier n on a ${0,9}^{n} > 0$ , on en déduit que pour tout entier n, $U_{n + 1} - U_{n} < 0$ donc la suite $(U_{n})$ est strictement décroissante.
  D'autre part, $0 < 0,9 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,9}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 400 \times {0,9}^{n} + 600 = 600$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} U_{n} = 600$ .
  La suite $(U_{n})$ est décroissante et converge vers 600. D'année en année, le nombre de clients de cet opérateur va décroitre et se stabiliser à environ 600 000 clients.
À la suite d'une campagne publicitaire conduite en 2013, l'opérateur de téléphonie observe une modification du comportement de ses clients.
Chaque année à compter de l'année 2014, l'opérateur ne perd plus que 8 % de ses clients et regagne 100 000 nouveaux clients.
On admet que le nombre de clients comptabilisés en 2014 était égal à 860 000.
En supposant que cette nouvelle évolution se poursuive durant quelques années, déterminer le nombre d'années nécessaire pour que l'opérateur retrouve au moins un million de clients.
La situation peut être modélisée par la suite $(W_{n})$ définie par $W_{0} = 860$ et, pour tout entier naturel n, $W_{n + 1} = 0,92 W_{n} + 100$ où le terme $W_{n}$ donne une estimation du nombre de milliers de clients pour l'année 2014 + n.
Les termes successifs de la suite $(W_{n})$ arrondis au dixième près sont donnés dans le tableau suivant :
n 0 1 2 3 4 5 6
$W_{n}$ 860 891,2 919,9 946,3 970,6 993 1013,5
L'opérateur retrouve au moins un million de clients au bout de 6 ans.

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k	0	1	2	3	4	5
NbClients	Pas d'affichage	960 000	924 000	891 600	862 440	836 196

n	0	1	2	3	4	5	6
$W_{n}$	860	891,2	919,9	946,3	970,6	993	1013,5