sujet : Antilles Guyane 2015

Corrigé de l'exercice 2: candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

1. En notant respectivement A et B les états « le vélo est en A » et « le vélo est en B », traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets A et B.

   • Si un vélo est loué sur le site A, la probabilité d'être ramené en A est 0,6 d'où $p_A\left(A\right)=\mathrm{0,6}$ et $p_A\left(B\right)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}$.
   • Si un vélo est loué sur le site B, la probabilité d'être ramené en B est 0,7 d'où $p_B\left(B\right)=\mathrm{0,7}$ et $p_B\left(A\right)=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}$.

   Le graphe probabiliste d'ordre 2 se présente de la manière suivante :

2. Donner M la matrice de transition de ce graphe en considérant les sommets dans l'ordre A, B.

   La matrice de transition associée au graphe est $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)$.

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3. Pour tout entier naturel n, on note $a_n$ (respectivement $b_n$) la probabilité qu'un vélo quelconque soit, après n jours, sur le site A (respectivement sur le site B).
   On note $P_n$ la matrice $\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)$ correspondant à l'état probabiliste après n jours.
   Le premier jour, tous les vélos sont distribués également sur les deux sites. On a donc $P_0=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)$.

   1. On donne : $M^2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,48}& \mathrm{0,52}\\ \mathrm{0,39}& \mathrm{0,61}\end{array}\right)$. Calculer $P_2$ en donnant le détail des calculs matriciels.

      On a $P_2=P_0\times M^2$ soit $$\begin{array}{rcl}{P}_2& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,48}& \mathrm{0,52}\\ \mathrm{0,39}& \mathrm{0,61}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,48}+\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,39}& \mathrm{0,5}\times \mathrm{0,52}+\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,61}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,435}& \mathrm{0,565}\end{array}\right)\end{array}$$

      Ainsi, $P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,435}& \mathrm{0,565}\end{array}\right)$

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   2. Calculer $P_4$ et interpréter le résultat dans le contexte du problème.

      $$\begin{array}{ccc}{P}_4=P_2\times M^2& \text{soit}& P_4=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,435}& \mathrm{0,565}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,48}& \mathrm{0,52}\\ \mathrm{0,39}& \mathrm{0,61}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,42915}& \mathrm{0,57085}\end{array}\right)\end{array}$$

      $P_4\approx \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,43}& \mathrm{0,57}\end{array}\right)$. Le cnquième jour, environ 43 % des vélos sont sur le site A.

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   3. Déterminer l'état stable du graphe, noté $\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$.

      Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $P_n$ converge vers un état stable $P=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$ avec $a+b=1$ et vérifiant : $$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)& \iff & \left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}a+\mathrm{0,3}b& \mathrm{0,4}a+\mathrm{0,7}b\end{array}\right)\end{array}$$

      D'où a et b sont solutions du système : $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{l}a=\mathrm{0,6}a+\mathrm{0,3}b\\ b=\mathrm{0,4}a+\mathrm{0,7}b\\ a+b=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}\mathrm{0,4}a-\mathrm{0,3}b=0\\ -\mathrm{0,4}a+\mathrm{0,3}b=0\\ a+b=1\end{array}\end{array}$$

      Soit a et b solutions du système : $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{l}\mathrm{0,4}a-\mathrm{0,3}b=0\\ a+b=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}a+b=1\\ \mathrm{0,7}a=\mathrm{0,3}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}a={\displaystyle \frac{3}{7}}\\ b={\displaystyle \frac{4}{7}}\end{array}\end{array}$$

      L'état stable du graphe probabiliste est $P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3}{7}}& {\displaystyle \frac{4}{7}}\end{array}\right)$.

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   4. Tous les mois, un véhicule est affecté à la redistribution des vélos afin de rétablir au mieux la répartition initiale qui était de 70 vélos sur chaque site.
      La municipalité envisage d'affecter un véhicule pouvant contenir 12 vélos. Ce choix parait-il adapté à la situation ?

      L'état stable du système est $P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3}{7}}& {\displaystyle \frac{4}{7}}\end{array}\right)$ c'est à dire qu'à partir d'un certain nombre de jours, la distribution des vélos entre les deux sites sera proche de :$$140\times \left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3}{7}}& {\displaystyle \frac{4}{7}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}60& 80\end{array}\right)$$

      Le choix d'un véhicule pouvant contenir 12 vélos afin de rétablir au mieux la répartition initiale qui était de 70 vélos sur chaque site est adapté à la situation.

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