sujet : Nouvelle Calédonie mars 2016

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. On ne demande pas de justification.
Chaque réponse exacte rapportera 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point.

1. La proportion de gauchers dans la population française est de 13 %.
   Un intervalle de fluctuation asymptotique, au seuil de 95 %, de la fréquence de gauchers dans un échantillon de 500 personnes prises au hasard dans la population française est :

   Comme $n=500$, $n\times p=500\times \mathrm{0,13}=65$ et $n\times \left(1-p\right)=500\times \mathrm{0,87}=435$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.
   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 de la fréquence de gauchers dans un échantillon de 500 personnes prises au hasard dans la population française est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,13}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,13}\times \mathrm{0,87}}{500}}};\mathrm{0,13}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,13}\times \mathrm{0,87}}{500}}}\right]\end{array}$$

   Soit avec des valeurs approchées à ${10}^{-3}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de gauchers dans un échantillon de 500 personnes prises au hasard dans la population française est $I=\left[\mathrm{0,100};\mathrm{0,160}\right]$.

   a.  $\left[\mathrm{0,080};\mathrm{0,180}\right]$

   b.  $\left[\mathrm{0,085};\mathrm{0,175}\right]$

   c.  $\left[\mathrm{0,100};\mathrm{0,160}\right]$

   d.  $\left[\mathrm{0,128};\mathrm{0,132}\right]$

2. Sur $ℝ$, l'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln x+\ln 3⩽\ln \left(2x+1\right)$ est :

   L'inéquation $\ln x+\ln 3⩽\ln \left(2x+1\right)$ est définie pour $$\begin{array}{ccccccc}x>0& \text{et}& 2x+1>0& \iff & x>0& \text{et}& x>-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   Ainsi, l'inéquation $\ln x+\ln 3⩽\ln \left(2x+1\right)$ est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$. Pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{rcl}\ln x+\ln 3⩽\ln \left(2x+1\right)& \iff & \ln \left(3x\right)⩽\ln \left(2x+1\right)\\ & \iff & 3x⩽2x+1\\ & \iff & x⩽1\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln x+\ln 3⩽\ln \left(2x+1\right)$ est $S=\left]0;1\right]$

   ---

   a.  $\left[2;+\infty \right[$

   b.  $\left]0;2\right]$

   c.  $\left]-\infty ;1\right]$

   d.  $\left]0;1\right]$

3. • À priori à l'aide du graphique, la fonction f semble être décroissante sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};3\right]$. Vérifions cette conjecture.

     La dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ par :$$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& 2x-\left(3\ln \left(x\right)+3x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\\ & =& 2x-3\ln \left(x\right)-3\end{array}$$

     Or $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(\mathrm{0,5}\right)& =& 1-3\ln \left(\mathrm{0,5}\right)-3\\ & =& 3\ln \left(2\right)-2\approx \mathrm{0,079}\end{array}$$

     Comme $f\prime \left(\mathrm{0,5}\right)>0$ alors, la fonction f n'est pas décroissante sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};3\right]$.

   • Étudions la convexité de la fonction f.

     La dérivée seconde de la fonction f est la fonction $f″$ définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$ par :$$f″\left(x\right)=2-{\displaystyle \frac{3}{x}}={\displaystyle \frac{2x-3}{x}}$$

     La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde :

     x	0,5		${\displaystyle \frac{3}{2}}$		5
     Signe de $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
     Convexité de f		f est concave		f est convexe

     ---

   a.  La fonction f est décroissante sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};3\right]$	b. La fonction f est convexe sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};5\right]$.
   c.  La courbe représentant f admet un point d'inflexion au point d'abscisse 2.	d.  La fonction f est concave sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};\mathrm{1,5}\right]$.

4. On note I l'intégrale ${\displaystyle {\int }_1^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ ; on peut affirmer que :

   • méthode 1 : utilisation de la ca calculatrice.

     À l'aide de la calculatrice, on obtient $${\displaystyle {\int }_1^2{x}^2-3x\ln x+1\mathrm{d}x}\approx \mathrm{1,4}$$

   • méthode 2 : utilisation du graphique.

     Sur l'intervalle $\left[1;2\right]$, la courbe représentative de la fonction f est au dessus de l'axe des abscisses. Donc l'intégrale ${\displaystyle {\int }_1^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré compris entre la courbe représentant f, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=2$.

     Or l'aire du domaine hachuré est comprise entre l'aire d'un triangle rectangle de côtés 1 et 2 et l'aire d'un rectangle de côtés 1 et 2 donc $1⩽{\displaystyle {\int }_1^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽2$.

   a.  $\mathrm{0,5}⩽I⩽1$

   b.  $4⩽I⩽7$

   c.  $1⩽I⩽\mathrm{1,75}$

   d.  $2⩽I⩽4$

5. On souhaite utiliser un algorithme permettant de déterminer une valeur approchée au centième de la solution α de l'équation $f\left(x\right)=1$ sur l'intervalle $\left[1;3\right]$. (On admet que sur cet intervalle l'équation admet bien une unique solution.)
   Voici trois algorithmes :

   Algorithme 1		Algorithme 2		Algorithme 3
   Initialisation a prend la valeur 1 b prend la valeur 3 s prend la valeur 0		Initialisation a prend la valeur 1 b prend la valeur 3		Initialisation a prend la valeur 1 b prend la valeur 3
   Traitement $n=\left(b-a\right)\times 100$ Pour i allant de 1 à n faire x prend la valeur $a+\mathrm{0,01}\times i$ s prend la valeur $s+\mathrm{0,01}\times f\left(x\right)$ Fin de Pour		Traitement Tant que $b-a>\mathrm{0,01}$ faire c prend la valeur $\left(a+b\right)/2$ Si $f\left(c\right)>1$ alors a prend la valeur c Sinon b prend la valeur c Fin de Tant que		Traitement Pour x allant de 1 à 3 faire Si $f\left(x\right)<1$ alors a prend la valeur $\left(a+b\right)/2$ Sinon b prend la valeur $\left(a+b\right)/2$ Fin de Pour
   Sortie Afficher s		Sortie Afficher a		Sortie Afficher a

   ---

   L'algorithme 2 permet de déterminer une solution approchée de l'équation $f\left(x\right)=k$ par dichotomie. Exécution de l'algorithme 2.

   	$c={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$	$f\left(c\right)$ à ${10}^{-3}$ près	a	b	$b-a$	$b-a>\mathrm{0,01}$	Sortie	remarques
   Initialisation			1	3	2	vrai
   1re itération	2	0,841	1	2	1	vrai		$f\left(c\right)<1$ alors b prend la valeur 2.
   2e itération	1,5	1,425	1,5	2	0,5	vrai		$f\left(c\right)>1$ alors a prend la valeur 1,5.
   3e itération	1,75	1,125	1,75	2	0,25	vrai		$f\left(c\right)>1$ alors a prend la valeur 1,75.
   4e itération	1,875	0,980	1,75	1,875	0,125	vrai		$f\left(c\right)<1$ alors b prend la valeur 1,875.
   5e itération	${\displaystyle \frac{29}{16}}$	1,051	1,8125	1,875	0,0625	vrai		$f\left(c\right)>1$ alors a prend la valeur 1,8125.
   6e itération	${\displaystyle \frac{59}{32}}$	1,015	${\displaystyle \frac{59}{32}}$	1,875	0,03125	vrai		$f\left(c\right)>1$ alors a prend la valeur 1,84375.
   7e itération	${\displaystyle \frac{119}{64}}$	0,997	${\displaystyle \frac{59}{32}}$	${\displaystyle \frac{119}{64}}$	0,015625	vrai		$f\left(c\right)<1$ alors b prend la valeur ${\displaystyle \frac{119}{64}}$.
   8e itération	${\displaystyle \frac{237}{128}}$	1,001	${\displaystyle \frac{237}{128}}$	${\displaystyle \frac{119}{64}}$	${\displaystyle \frac{1}{128}}$	FAUX	${\displaystyle \frac{237}{128}}$	$f\left(c\right)>1$ alors a prend la valeur ${\displaystyle \frac{237}{128}}$. La condition $b-a>\mathrm{0,01}$ est Fausse : Sortie de la boucle.

   a.  L'algorithme 1 affiche une valeur approchée au centième de α.	b.  L'algorithme 2 affiche une valeur approchée au centième de α.
   c.  L'algorithme 3 affiche une valeur approchée au centième de α.	d.  Aucun des trois algorithmes n'affiche de valeur approchée au centième de α.

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.