Baccalauréat 2015 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Nouvelle Calédonie mars 2016

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Cet exercice comporte trois parties qui peuvent être traitées de manière indépendante

Les 275 passagers d'un vol long-courrier s'apprêtent à embarquer dans un avion possédant 55 sièges en classe confort et 220 sièges en classe économique. Les voyageurs partent soit pour un séjour court, soit pour un séjour long.
Parmi les passagers voyageant en classe économique, 35 % partent pour un séjour long alors que parmi les passagers ayant choisi la classe confort, 70 % ont opté pour un séjour long.

partie a

On choisit au hasard un passager du vol. On note les évènements suivants :

E : « Le passager voyage en classe économique. »
L : « Le passager part pour un séjour long. »

On note $\bar{E}$ et $\bar{L}$ les évènements contraires des évènements E et L.

Déterminer la probabilité de l'évènement E, notée $p (E)$ .
L'avion posséde 55 sièges en classe confort et 220 sièges en classe économique d'où : $p (E) = \frac{220}{275} = 0,8$
$p (E) = 0,8$ .
Représenter la situation par un arbre pondéré.
- Parmi les passagers voyageant en classe économique, 35 % partent pour un séjour long d'où $p_{E} (L) = 0,35$ et $p_{E} (\bar{L}) = 1 - 0,35 = 0,65$ .
- Parmi les passagers ayant choisi la classe confort, 70 % ont opté pour un séjour long d'où $p_{\bar{E}} (L) = 0,7$ et $p_{\bar{E}} (\bar{L}) = 1 - 0,7 = 0,3$ .
L'arbre pondéré qui illustre la situation est :
Déterminer la probabilité que le passager choisi parte en classe économique pour un séjour long.
$\begin{matrix} p (E \cap L) = p_{E} (L) \times p (E) & soit & p (E \cap L) = 0,35 \times 0,8 = 0,28 \end{matrix}$
La probabilité que le passager choisi parte en classe économique pour un séjour long est égale à 0,28.
Montrer que $p (L) = 0,42$ .
D'après la formule des probabilités totales : $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p (B) = p (B \cap A_{1}) + p (B \cap A_{2}) + \dots + p (B \cap A_{n})$
Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : $p (B) = p (B \cap A) + p (B \cap \bar{A})$ $p (L) = p (E \cap L) + p (\bar{E} \cap L)$
Or $\begin{matrix} p (\bar{E} \cap L) = p_{\bar{E}} (L) \times p (\bar{E}) & soit & p (\bar{E} \cap L) = 0,7 \times 0,2 = 0,14 \end{matrix}$
On obtient alors $p (L) = 0,28 + 0,14 = 0,42$
La probabilité que le passager choisi parte pour un séjour long est égale à 0,42.
On choisit au hasard un passager partant pour un long séjour. Quelle est la probabilité que ce passager voyage en classe économique ?
$\begin{matrix} p_{L} (E) = \frac{p (E \cap L)}{p (L)} & Soit & p_{L} (E) = \frac{0,28}{0,42} = \frac{2}{3} \end{matrix}$
La probabilité qu'un passager partant pour un long séjour voyage en classe économique est égale à $\frac{2}{3}$ .

partie b

Lors de l'embarquement, chaque passager enregistre un bagage qui sera placé dans la soute de l'avion pendant le vol. Le poids de ce bagage ne doit pas excéder 20 kg. Dans le cas où le poids de son bagage dépasserait 20 kg, le passager doit s'acquitter d'une « taxe d'excédent de bagage ». Le montant à payer en cas d'excédent est précisé dans le tableau ci-dessous.

Poids p (en kg) du bagage	Taxe d'excédent de bagage
$20 < p ⩽ 21$	12 €
$21 < p ⩽ 22$	24 €
$22 < p ⩽ 24$	50 €
$p > 24$	20 €/kg au-delà des 20 kg autorisés

On choisit au hasard un bagage devant être transporté dans la soute de l'avion. On admet que le poids de ce bagage, exprimé en kg, est modélisé par une variable aléatoire M qui suit la loi normale d'espérance 18,4 et d'écart type 1,2.

Dans cette partie, les résultats seront arrondis au millième.

Calculer la probabilité que le passager propriétaire du bagage choisi s'acquitte d'une taxe d'excédent de bagage.
À l'aide de la calculatrice : $P (M > 20) = 1 - P (0 ⩽ M ⩽ 20) \approx 0,091$
Arrondie au millième près, la probabilité que le passager propriétaire du bagage choisi s'acquitte d'une taxe d'excédent de bagage est 0,091.
Calculer la probabilité que le passager propriétaire du bagage choisi s'acquitte d'une taxe d'excédent de bagage de 24 €.
À l'aide de la calculatrice : $P (21 < M ⩽ 22) \approx 0,014$
Arrondie au millième près, la probabilité que le passager propriétaire du bagage choisi s'acquitte d'une taxe d'excédent de bagage de 24 € est 0,014.

partie c

L'enregistrement des bagages des passagers est possible pendant une durée de 2 h.
Un passager du vol est choisi au hasard et on note T la durée (en minutes] qui s'est écoulée entre le début des enregistrements des bagages et l'arrivée de ce passager au comptoir d'enregistrement.
On admet que T est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0; 120]$ .

Déterminer la probabilité que le passager choisi enregistre ses bagages dans les 30 dernières minutes autorisées.

T est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0; 120]$ d'où : $P (90 ⩽ T ⩽ 120) = \frac{30}{120} = 0,25$

La probabilité que le passager choisi enregistre ses bagages dans les 30 dernières minutes autorisées est égale à 0,25.

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