sujet : Nouvelle Calédonie mars 2016

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

La courbe $𝒞$ ci-dessous représente le nombre de personnes malades (en milliers) dans un pays lors d'une épidémie en fonction du nombre t de jours écoulés depuis l'apparition de la maladie.

partie a

1. À l'aide du graphique, déterminer au bout de combien de jours le nombre de malades est maximal puis préciser le nombre approximatif de malades ce jour-là.

   Par lecture graphique, le nombre de malades est maximal au bout de 20 jours. Le nombre maximal de malades est d'environ 54000.

   ---

2. Estimer graphiquement le jour où la vitesse de propagation de la maladie est la plus forte. (Expliquer rapidement la démarche utilisée)

   Sur l'intervalle $\left[0;20\right]$ où le nombre de malades augmente, la courbe $𝒞$ admet un point d'inflexion d'abscisse approximative 6. On en déduit qu'à partir du sixième jour, le rythme de croissance du nombre de malades ralentit.

   Par lecture graphique, la vitesse de propagation de la maladie est la plus forte le sixième jour.

   ---

partie b

1. Démontrer le résultat : $f\prime \left(t\right)=\mathrm{0,1}t\left(20-t\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}t}$ qui a été fourni par le logiciel.

   La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables :

   $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;60\right]$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(t\right)=t^2\hfill & \text{;}& u\prime \left(t\right)=2t\hfill \\ v\left(t\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}t}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}t}\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;60\right]$, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(t\right)& =& 2t{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}t}+t^2\times \left(-\mathrm{0,1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}t}\right)\\ & =& 2t{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}t}-\mathrm{0,1}{t}^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}t}\\ & =& \mathrm{0,1}t\left(20-t\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}t}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;60\right]$ par $f\prime \left(t\right)=\mathrm{0,1}t\left(20-t\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}t}$.

   ---

2. 1. Déterminer le signe de $f\prime \left(t\right)$ sur $\left[0;60\right]$.

      Déterminons le signe de $f\prime \left(t\right)$ à l'aide d'un tableau de signe :

      t		0		20		60
      Signe de $\mathrm{0,1}t$		$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
      Signe de $\left(20-t\right)$		$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      Signe de ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}t}$		$|$	+	$|$	+
      Signe de $f\prime \left(t\right)$		$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   2. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur $\left[0;60\right]$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      t	0		20		60
      $f\prime \left(t\right)$	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(t\right)$	0		$400{\mathrm{e}}^{-2}$		$3600{\mathrm{e}}^{-6}$

3. Le nombre moyen de malades par jour, en milliers, durant les 60 premiers jours après l'apparition de la maladie est donné par $N={\displaystyle \frac{1}{60}}{\displaystyle {\int }_0^{60}f\left(t\right)\mathrm{d}t}$.

   1. Déterminer la valeur exacte de N.

      F une primitive de f donc : $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{1}{60}}{\displaystyle {\int }_0^{60}f\left(t\right)\mathrm{d}t}& =& {\displaystyle \frac{1}{60}}\times \left[F\left(60\right)-F\left(0\right)\right]\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{60}}\times \left[\left(-50000{\mathrm{e}}^{-6}\right)-\left(-2000\right)\right]\\ & =& {\displaystyle \frac{100-2500{\mathrm{e}}^{-6}}{3}}\end{array}$$

      $N={\displaystyle \frac{100-2500{\mathrm{e}}^{-6}}{3}}$

      ---

   2. Quel est le nombre moyen de malades par jour, arrondi à la dizaine ?

      $${\displaystyle \frac{100-2500{\mathrm{e}}^{-6}}{3}}\approx \mathrm{31,268}$$

      Arrondi à la dizaine près, le nombre moyen de malades par jour est 31270.

      ---

4. 1. Justifier par le calcul que, sur l'intervalle $\left[0;15\right]$, la courbe représentative de la fonction f admet un unique point d'inflexion.
      Préciser une valeur arrondie à l'unité de l'abscisse de ce point d'inflexion.

      Si la dérivée seconde $f″$ s'annule et change de signe pour $t=a$, alors la courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion de coordonnées $\left(a;f\left(a\right)\right)$.

      $f″\left(t\right)=\left(\mathrm{0,01}{t}^2-\mathrm{0,4}t+2\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}t}$. Comme pour tout réel t, on a ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}t}>0$ alors $f″\left(t\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $\mathrm{0,01}{t}^2-\mathrm{0,4}t+2$ sur l'intervalle $\left[0;60\right]$.

      Le discriminant du trinôme $\mathrm{0,01}{t}^2-\mathrm{0,4}t+2$ est $\mathrm{\Delta }={\left(-\mathrm{0,4}\right)}^2-4\times \mathrm{0,01}\times 2=\mathrm{0,08}$. Le trinôme admet deux racines :$$\begin{array}{cl}& t_1={\displaystyle \frac{\mathrm{0,4}-\sqrt{\mathrm{0,08}}}{\mathrm{0,02}}}=20-10\sqrt{2}\approx 6\\ \text{et}& t_2={\displaystyle \frac{\mathrm{0,4}+\sqrt{\mathrm{0,08}}}{\mathrm{0,02}}}=20+10\sqrt{2}\approx 34\end{array}$$

      Nous pouvons en déduire le signe de $f″\left(t\right)$ sur l'intervalle $\left[0;60\right]$ :

      t	0		$20-10\sqrt{2}$		$20+10\sqrt{2}$		60
      $f″\left(t\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

      ---

      Sur l'intervalle $\left[0;15\right]$, la courbe représentative de la fonction f admet un unique point d'inflexion d'abscisse $20-10\sqrt{2}$. La valeur arrondie à l'unité de l'abscisse de ce point d'inflexion est 6.

      ---

   2. Donner une interprétation concrète de cette abscisse.

      Au point d'abscisse $20-10\sqrt{2}\approx 6$, la fonction f passe de convexe à concave ce qui induit un ralentissement de la vitesse de propagation de la maladie à partir du sixième jour.

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.