sujet : Nouvelle Calédonie mars 2016

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

1. Déterminer la matrice ligne $P_0$ de l'état probabiliste initial.

   Au début de la campagne, 20 % des personnes interrogées préfèrent Alphamarché donc l'état initial est $P_0=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$.

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2. On note A, l'état « Le client interrogé préfère Alphamarché » et B l'état « Le client interrogé préfère Bétamarché ». Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.

   On considère que 10 % des personnes préférant Alphamarché et 15 % des personnes préférant Bétamarché changent d'avis d'un mois sur l'autre d'où :

   • $p_A\left(B\right)=\mathrm{0,1}$ et $p_A\left(A\right)=1-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,9}$.
   • $p_B\left(A\right)=\mathrm{0,15}$ et $p_B\left(B\right)=1-\mathrm{0,15}=\mathrm{0,85}$.

   Le graphe probabiliste d'ordre 2 se présente de la manière suivante :

3. 1. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

      La matrice de transition associée au graphe est $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)$.

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   2. Montrer que $P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)$.

      $$\begin{array}{ccc}{P}_1=P_0\times M& \text{soit}& P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)\end{array}$$

      L'état probabiliste un mois après le début de la campagne est $P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)$.

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4. 1. Exprimer, pour tout entier naturel n, $P_n$ en fonction de $P_0$, M et n.

      Pour tout entier naturel n, $P_n=P_0\times M^n$

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   2. En déduire la matrice ligne $P_3$ et interpréter ce résultat.

      $$\begin{array}{ccc}{P}_3=P_0\times M^3& \text{soit}& P_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)}^3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,43125}& \mathrm{0,56875}\end{array}\right)\end{array}$$

      L'état probabiliste $P_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,43125}& \mathrm{0,56875}\end{array}\right)$. Trois mois après le début de la campagne, environ 43 % des personnes préfèreront le service de retrait d'Alphamarché.

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5. Le service de retrait d'Alphamarché finira-t-il par être préféré à celui de Bétamarché ? Justifier.

   Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $P_n$ converge vers un état stable $P=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$ avec $a+b=1$ et vérifiant : $$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)& \iff & \left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}a+\mathrm{0,15}b& \mathrm{0,1}a+\mathrm{0,85}b\end{array}\right)\end{array}$$

   D'où a et b sont solutions du système : $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{l}a=\mathrm{0,9}a+\mathrm{0,15}b\\ b=\mathrm{0,1}a+\mathrm{0,85}b\\ a+b=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}\mathrm{0,1}a-\mathrm{0,15}b=0\\ -\mathrm{0,1}a+\mathrm{0,15}b=0\\ a+b=1\end{array}\end{array}$$

   Soit a et b solutions du système : $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{l}\mathrm{0,1}a-\mathrm{0,15}b=0\\ a+b=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}a+b=1\\ \mathrm{0,25}a=\mathrm{0,15}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}a=\mathrm{0,6}\\ b=\mathrm{0,4}\end{array}\end{array}$$

   L'état stable est $P=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)$. À partir d'un certain nombre de mois, 60 % des personnes préfèreront le service de retrait d'Alphamarché.

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