Baccalauréat 2015 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Nouvelle Calédonie mars 2016

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Un club de basketball a suivi sur plusieurs années l'évolution des abonnements annuels de ses supporters. Partant de ces observations, on décide de modéliser le nombre annuel d'abonnés sur la base d'un taux de réabonnement de 80 % d'une année sur l'autre auxquels s'ajoutent 300 nouveaux abonnements.
On se propose d'étudier l'évolution du nombre annuel des abonnés du club de basketball à l'aide de ce modèle.
Le nombre d'abonnés au club à la fin de l'année 2014 était 1128.
On note an, le nombre d'abonnés à la fin de l'année 2014 + n. On a donc a0=1128.

  1. Estimer le nombre d'abonnés à la fin de l'année 2015.

    En 2015, 80 % des 1128 abonnés en 2014 renouvellent leur abonnement auxquels s'ajoutent 300 nouveaux abonnés d'où un nombre d'abonnés en 2015 de :1128×80100+300=1202,4

    En 2015, il devrait y avoir environ 1202 abonnés au club.


  2. Expliquer pourquoi, pour tout nombre entier naturel n, on a an+1=0,8an+300.

    D'une année sur l'autre, le taux de réabonnement est de 80 % auxquels s'ajoutent 300 nouveaux abonnements d'où :

    Pour tout entier naturel n, on a an+1=0,8an+300.


  3. Soit (un) la suite définie, pour tout nombre entier naturel n, par un=1500-an.

    1. Montrer que la suite (un) est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme.

      u0=1500-u0. Soit u0=1500-1128=372. D'autre part, pour tout entier n, un+1=1500-an+1=1500-(0,8an+300)=1200-0,8an=0,8×(1500-an)=0,8un

      Ainsi, pour tout entier naturel n, un+1=0,8un donc (un) est une suite géométrique de raison 0,8. Le premier terme de cette suite est u0=372.


    2. Exprimer un en fonction de n.

      (un) est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme u0=372 donc pour tout entier naturel n, un=372×0,8n.


    3. En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, on a an=1500-372×0,8n.

      Pour tout entier naturel n, un=1500-anan=1500-un donc :

      pour tout nombre entier naturel n, on a an=1500-372×0,8n.


  4. Résoudre algébriquement l'inéquation an>1450 et interpréter le résultat obtenu.

    an>14501500-372×0,8n>1450-372×0,8n>-500,8n<50372ln(0,8n)<ln(25186) La fonction  ln est strictement croissanten×ln0,8<ln(25186)Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier nlnan=nlnan>ln(25186)ln0,8ln0,8<0

    Comme ln(25186)ln0,88,99 on en déduit que :

    Les solutions de l'inéquation an>1450 sont les entiers n9.
    À partir de 2023 le nombre d'abonnés au club sera supérieur à 1450.


  5. La municipalité dont dépend le club de basketball prévoit de construire une nouvelle salle de sport pour accueillir les rencontres du club.
    On souhaite pouvoir accueillir tous les abonnés du club auxquels s'ajouteraient 500 spectateurs occasionnels non abonnés au club.
    En tenant compte des résultats précédents, combien de places de spectateurs au minimum doit-on prévoir dans cette salle ?

    0<0,8<1 donc limn+0,8n=0 d'où, limn+1500-372×0,8n=1500. Soit limn+an=1500.

    La suite (an) converge vers 1500 donc pour pouvoir accueillir tous les abonnés du club auxquels s'ajouteraient 500 spectateurs occasionnels non abonnés au club, il faudrait prévoir 2000 places.



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