Un club de basketball a suivi sur plusieurs années l'évolution des abonnements annuels de ses supporters. Partant de ces observations, on décide de modéliser le nombre annuel d'abonnés sur la base d'un taux de réabonnement de 80 % d'une année sur l'autre auxquels s'ajoutent 300 nouveaux abonnements.
On se propose d'étudier l'évolution du nombre annuel des abonnés du club de basketball à l'aide de ce modèle.
Le nombre d'abonnés au club à la fin de l'année 2014 était 1128.
On note , le nombre d'abonnés à la fin de l'année 2014 + n. On a donc .
Estimer le nombre d'abonnés à la fin de l'année 2015.
En 2015, 80 % des 1128 abonnés en 2014 renouvellent leur abonnement auxquels s'ajoutent 300 nouveaux abonnés d'où un nombre d'abonnés en 2015 de :
En 2015, il devrait y avoir environ 1202 abonnés au club.
Expliquer pourquoi, pour tout nombre entier naturel n, on a .
D'une année sur l'autre, le taux de réabonnement est de 80 % auxquels s'ajoutent 300 nouveaux abonnements d'où :
Pour tout entier naturel n, on a .
Soit la suite définie, pour tout nombre entier naturel n, par .
Montrer que la suite est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme.
. Soit . D'autre part, pour tout entier n,
Ainsi, pour tout entier naturel n, donc est une suite géométrique de raison 0,8. Le premier terme de cette suite est .
Exprimer en fonction de n.
est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme donc pour tout entier naturel n, .
En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, on a .
Pour tout entier naturel n, donc :
pour tout nombre entier naturel n, on a .
Résoudre algébriquement l'inéquation et interpréter le résultat obtenu.
Comme on en déduit que :
Les solutions de l'inéquation sont les entiers .
À partir de 2023 le nombre d'abonnés au club sera supérieur à 1450.
La municipalité dont dépend le club de basketball prévoit de construire une nouvelle salle de sport pour accueillir les rencontres du club.
On souhaite pouvoir accueillir tous les abonnés du club auxquels s'ajouteraient 500 spectateurs occasionnels non abonnés au club.
En tenant compte des résultats précédents, combien de places de spectateurs au minimum doit-on prévoir dans cette salle ?
donc d'où, . Soit .
La suite converge vers 1500 donc pour pouvoir accueillir tous les abonnés du club auxquels s'ajouteraient 500 spectateurs occasionnels non abonnés au club, il faudrait prévoir 2000 places.
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