Baccalauréat 2015 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Pondichéry 2015

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région. En juillet 2014, il achète 300 colonies d'abeilles qu'il installe dans cette région.
Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s'attend à perdre 8 % des colonies durant l'hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d'installer 50 nouvelles colonies chaque printemps.

  1. On considère l'algorithme suivant :

    variables :

    n est un nombre entier naturel
    C est un nombre réel

    traitement :

    Affecter à C la valeur 300
    Affecter à n la valeur 0

    Tant que C<400 faire
    C prend la valeur C-C×0,08+50
    n la valeur n+1
    Fin Tant que

    Sortie :

    Afficher n

    1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les résultats seront arrondis à l'entier le plus proche.

      Test C<400xxxvraivraivraivraivraiFAUX
      Valeur de C300326350372392410410
      Valeur de n0123455
    2. Quelle valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de ce problème.

      La valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme est 5. L'apiculteur peut espérer dépasser 400 colonies dans 5 ans.


  2. On modélise l'évolution du nombre de colonies par une suite (Cn) le terme Cn donnant une estimation du nombre de colonies pendant l'année 2014 + n. Ainsi C0=300 est le nombre de colonies en 2014.

    1. Exprimer pour tout entier n le terme Cn+1 en fonction de Cn.

      L'apiculteur s'attend à perdre 8 % des colonies durant l'hiver et, il a prévu d'installer 50 nouvelles colonies chaque printemps d'où :

      pour tout entier n on a Cn+1=0,92×Cn+50.


    2. On considère la suite (Vn) définie pour tout entier n par Vn=625-Cn. Montrer que pour tout nombre entier n on a Vn+1=0,92×Vn.

      Pour tout entier n, Vn+1=625-Cn+1=625-0,92Cn-50=575-0,92Cn=0,92×(625-Cn)=0,92Vn

      Ainsi, pour tout nombre entier n on a Vn+1=0,92×Vn.


    3. En déduire que pour tout entier naturel n, on a Cn=625-325×0,92n.

      Pour tout entier n, Vn+1=0,92Vn donc (Vn) est une suite géométrique de raison 0,92. D'autre part, V0=625-C0soitV0=625-300=325

      (Vn) est une suite géométrique de raison 0,92 et de premier terme V0=325 donc pour tout entier n, Vn=325×0,92n.

      Comme pour tout entier n, Vn=625-Cn équivaut à Cn=625-Vn, on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, on a Cn=625-325×0,92n.


    4. Combien de colonies l'apiculteur peut-il espérer posséder en juillet 2024 ?

      C10=625-325×0,9210483,8

      En 2024, l'apiculteur peut espérer posséder 484 colonies.


  3. L'apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien d'années il lui faudra pour atteindre cet objectif.

    1. Comment modifier l'algorithme pour répondre à sa question ?

      Il suffit de modifier la condition de la boucle Tant que

      variables :

      n est un nombre entier naturel
      C est un nombre réel

      traitement :

      Affecter à C la valeur 300
      Affecter à n la valeur 0

      Tant que C<600 faire
      C prend la valeur C-C×0,08+50
      n la valeur n+1
      Fin Tant que

      Sortie :

      Afficher n

    2. Donner une réponse à cette question de l'apiculteur.

      On peut programmer l'algorithme sur la calculatrice ou chercher le plus petit entier n solution de l'inéquation 625-325×0,92n600-325×0,92n-250,92n25325ln(0,92n)ln113nln0,92-ln13n-ln13ln0,92ln0,92<0

      Comme -ln13ln0,9230,76 alors le plus petit entier n-ln13ln0,92 est 31.

      L'apiculteur peut espérer doubler son nombre initial de colonies dans 31 ans.



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