sujet : Pondichéry 2015

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

On s'intéresse à la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-2\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

partie a

1. Calculer $f\left(-1\right)$ et en donner une valeur approchée à 10^-2 près.

   $$f\left(-1\right)=-2\left(-1+2\right){\mathrm{e}}^1=-2\mathrm{e}$$

   $f\left(-1\right)=-2\mathrm{e}\approx -\mathrm{5,44}$

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2. Justifier que $f\prime \left(x\right)=2\left(x+1\right){\mathrm{e}}^{-x}$ où $f\prime$ est la fonction dérivée de f.

   f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables sur $ℝ$ :
   $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=-2\left(x+2\right)\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=-2\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel x : $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& -2\times {\mathrm{e}}^{-x}-2\times \left(x+2\right)\times \left(-{\mathrm{e}}^{-x}\right)\hfill \\ & =& -2{\mathrm{e}}^{-x}+2\times \left(x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}\hfill \\ & =& 2{\mathrm{e}}^{-x}\times \left(-1+x+2\right)\hfill \\ & =& 2\left(x+1\right){\mathrm{e}}^{-x}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)=2\left(x+1\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

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3. En déduire les variations de la fonction f.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(x+1\right)$ d'où le tableau des variations de f :

   x	$-\infty$		$-1$		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\left(x\right)$			$-2\mathrm{e}$

partie b

Dans le repère orthogonal ci-dessous trois courbes $C_1$, $C_2$ et $C_3$ ont été représentées.
L'une de ces courbes représente la fonction f, une autre représente sa dérivée et une troisième représente sa dérivée seconde.

Expliquer comment ces représentations graphiques permettent de déterminer la convexité de la fonction f.
Indiquer un intervalle sur lequel la fonction f est convexe.

• D'après le tableau de variation, $C_3$ est la seule des trois courbes susceptible de représenter la fonction f : La convexité de la fonction f se déduit des positions relatives de la courbe $C_3$ par rapport à ses tangentes.

• D'après l'étude du signe de la dérivée, $C_1$ est la courbe représentative de la fonction dérivée : La convexité de la fonction f se déduit des variations de sa dérivée.

• $C_2$ est la courbe représentative de la fonction dérivée seconde : La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde.

La fonction f est convexe sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right]$.

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