Baccalauréat 2015 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Pondichéry 2015

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Une entreprise produit et vend des composants électroniques.
Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 1000 et 30000 pièces. On suppose que toute la production est commercialisée.

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

partie a

On donne ci-dessous R et C les représentations graphiques respectives des fonctions recette et coût sur l'intervalle $[1; 30]$ . Par lecture graphique, donner une estimation des valeurs demandées.

Quel est le coût de production de 21000 pièces ?
Le coût de production de 21000 pièces est d'environ 250 0000 euros.
Pour quelles quantités de pièces produites l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ?
L'entreprise réalise un bénéfice si elle produit entre 3 000 et 22 800 pièces.
Pour quel nombre de pièces produites le bénéfice est-il maximal ?
Le bénéfice est maximal pour une production d'environ 13 000 pièces.

partie b

Le bénéfice en milliers d'euros, réalisé pour la production et la vente de x milliers de pièces, est donné sur l'intervalle $[1; 30]$ par $B (x) = - 0,5 x^{2} + 6 x - 20 + 2 x \ln x$ .

Montrer que $B' (x) = - x + 8 + 2 \ln x$ où $B'$ est la dérivée de B sur l'intervalle $[1; 30]$ .
Pour tout réel x de l'intervalle $[1; 30]$ : $\begin{array}{l} B' (x) & = & - 2 \times 0,5 x + 6 + (2 \ln x + 2 x \times \frac{1}{x}) \\ = & - x + 6 + 2 \ln x + 2 \\ = & - x + 8 + 2 \ln x \end{array}$
Ainsi, $B'$ est la fonction définie sur $[1; 30]$ par $B' (x) = - x + 8 + 2 \ln x$ .

On admet que $B ″ (x) = - 1 + \frac{2}{x}$ où $B ″$ est la dérivée seconde de B sur l'intervalle $[1; 30]$ .
Justifier le tableau de variation ci-dessous de la fonction dérivée $B'$ sur l'intervalle $[1; 30]$ .

Les variations de la fonction dérivée $B'$ se déduisent du signe de la dérivée seconde $B ″$ sur l'intervalle $[1; 30]$ .

Pour tout réel x de l'intervalle $[1; 30]$ : $B ″ (x) = - 1 + \frac{2}{x} = \frac{2 - x}{x}$

x	1		2		30
$B ″ (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
$B' (x)$	7		$6 + 2 \ln 2$		$- 22 + 2 \ln 30$

$\begin{matrix} B' (1) = - 1 + 8 + 2 \ln 1 = 7 & ; & B' (2) = - 2 + 8 + 2 \ln 2 = 6 + 2 \ln 2 & ; & B' (30) = - 30 + 8 + 2 \ln 30 = - 22 + 2 \ln 30 \end{matrix}$

1. Montrer que l'équation $B' (x) = 0$ admet une unique solution α sur l'intervalle $[1; 30]$ .
  - Sur l'intervalle $[1; 2]$ , $B'$ est strictement croissante et $B' (1) = 7$ donc pour tout $x \in [1; 2]$ on a $B' (x) ⩾ 7$
  - Sur l'intervalle $[2; 30]$ , $B'$ est continue et strictement décroissante. En outre $B' (30) < 0 < B' (2)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire,Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ . :
    l'équation $B' (x) = 0$ admet une unique solution $α \in [2; 30]$ .
  L'équation $B' (x) = 0$ admet une unique solution α sur l'intervalle $[1; 30]$ .
2. Donner une valeur approchée au millième de la valeur de α.
  À l'aide de la calculatrice, on trouve $α \approx 13,153$ .

En déduire le signe de $B' (x)$ sur l'intervalle $[1; 30]$ , et donner le tableau de variation de la fonction bénéfice B sur ce même intervalle.

Sur l'intervalle $[2; 30]$ , $B'$ est strictement décroissante et $B' (α) = 0$ donc si $x \in [α; 30]$ alors $B' (x) ⩽ 0$ .

x	1		α		30
$B' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
$B (x)$			$B (α)$

Quel est le nombre de pièces à produire, à l'unité près, pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice maximal (arrondi au millier d'euros) ?
Le maximum de la fonction B est atteint pour $x = α$ et $B (α) \approx - 0,5 \times {13,153}^{2} + 6 \times 13,153 - 20 + 2 \times 13,153 \times \ln (13,153) \approx 40,2$
Le bénéfice maximum est de 40 000 euros avec une production de 13 153 pièces.

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