sujet : Pondichéry 2015

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

1. Représenter le graphe probabiliste de sommets A, B et C correspondant à la situation décrite.

2. Écrire la matrice M de transition associée à ce graphe (dans l'ordre A, B, C).

   La matrice carrée M de transition en respectant l'ordre A, B, C des sommets est $M=\left(\begin{array}{lll}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,2}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,5}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,2}& 0& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$

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3. On donne $M^2=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,42}& \mathrm{0,22}& \mathrm{0,36}\\ \mathrm{0,19}& \mathrm{0,27}& \mathrm{0,54}\\ \mathrm{0,28}& \mathrm{0,04}& \mathrm{0,68}\end{array}\right)$ et $M^{20}\approx \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,3125}& \mathrm{0,125}& \mathrm{0,5625}\\ \mathrm{0,3125}& \mathrm{0,125}& \mathrm{0,5625}\\ \mathrm{0,3125}& \mathrm{0,125}& \mathrm{0,5625}\end{array}\right)$. Calculer $N_2$. Interpréter le résultat obtenu.

   $N_2=N_0\times M^2$ soit $$N_2=\left(\begin{array}{ccc}100& 0& 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,42}& \mathrm{0,22}& \mathrm{0,36}\\ \mathrm{0,19}& \mathrm{0,27}& \mathrm{0,54}\\ \mathrm{0,28}& \mathrm{0,04}& \mathrm{0,68}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}42& 22& 36\end{array}\right)$$

   $N_2=\left(\begin{array}{ccc}42& 22& 36\end{array}\right)$. À l'instant $t=2$, le nombre de visiteurs est, respectivement sur les sites A, B et C : 42, 22 et 36.

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4. Calculer $N_0\times M^{20}$. Conjecturer la valeur de l'état stable et interpréter la réponse.

   $$N_2=\left(\begin{array}{ccc}100& 0& 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,3125}& \mathrm{0,125}& \mathrm{0,5625}\\ \mathrm{0,3125}& \mathrm{0,125}& \mathrm{0,5625}\\ \mathrm{0,3125}& \mathrm{0,125}& \mathrm{0,5625}\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{31,25}& \mathrm{12,5}& \mathrm{56,25}\end{array}\right)$$

   L'état stable du système semble être $\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{31,25}& \mathrm{12,5}& \mathrm{56,25}\end{array}\right)$, vérifions le :$$\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{31,25}& \mathrm{12,5}& \mathrm{56,25}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{lll}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,2}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,5}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,2}& 0& \mathrm{0,8}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{31,25}& \mathrm{12,5}& \mathrm{56,25}\end{array}\right)$$

   L'état stable du système est $N=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{31,25}& \mathrm{12,5}& \mathrm{56,25}\end{array}\right)$. Au delà de 20 minutes, le nombre d'internautes connectés sur chaque site n'évolue plus il est, respectivement sur les sites A, B et C de 31, 13 et 56.

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5. Un des internautes transmet un virus à tout site qu'il visitera. Il se connecte initialement sur le site C et commence sa navigation. À l'instant $t=0$, le site C est donc infecté.

   1. Quelle est la probabilité qu'à l'instant $t=1$ le site A soit infecté ?

      Pour un internaute connecté sur le site C, la probabilité d'utiliser le lien vers A est de 0,2 donc :

      à l'instant $t=1$ la probabilité que le site A soit infecté est égale à 0,2.

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   2. Quelle est la probabilité qu'à l'instant $t=2$ les trois sites soient infectés ?

      Il s'agit de calculer la probabilité que l'internaute initialement connecté sur le site C soit connecté au site B à l'instant $t=2$

      Soit $V_0=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right)$ l'état probabiliste initial d'un internaute connecté sur le site C : $$V_2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,42}& \mathrm{0,22}& \mathrm{0,36}\\ \mathrm{0,19}& \mathrm{0,27}& \mathrm{0,54}\\ \mathrm{0,28}& \mathrm{0,04}& \mathrm{0,68}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,28}& \mathrm{0,04}& \mathrm{0,68}\end{array}\right)$$

      Ainsi, la probabilité qu'un internaute connecté sur le site C soit connecté sur le site B à l'instant $t=2$ est égale à 0,04.

      À l'instant $t=2$ la probabilité que les trois sites soient infectés est égale à 0,04.

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