contrôles en première ES

contrôle du 15 novembre 2005

Corrigé de l'exercice 3

Le plan est muni d'un repère orthogonal (O;𝚤,ȷ).
On considère la figure représentée en annexe et on appelle S la partie grisée, bords compris.

On admettra que la droite (CD) a pour équation y=40-x et que la droite (AD) a pour équation y=-53x+50.

Une entreprise veut faire transporter par bateaux au moins 300 véhicules et 400 tonnes de matériel.
Le transporteur maritime auquel elle s'adresse dispose :

  • de 30 bateaux de type A, susceptibles chacun de transporter 10 véhicules et 10 tonnes de matériel ;
  • de 35 bateaux de type B, susceptibles chacun de transporter 6 véhicules et 10 tonnes de matériel.

On note x le nombre de bateaux de type A et y le nombre de bateaux de type B à affréter pour effectuer ce transport.

  1. Traduire les informations ci-dessus par un système d'inéquations.

    • Le transporteur maritime dispose de 30 bateaux de type A et de 35 bateaux de type B d'où x30 et y35
    • L'entreprise veut faire transporter au moins 300 véhicules par bateaux de type A, susceptibles chacun de transporter 10 véhicules ou par bateaux de type B, susceptibles chacun de transporter 6 véhicules d'où 10x+6y300y-53x+50
    • L'entreprise veut faire transporter au moins 400 tonnes de matériel par bateaux de type A ou B, susceptibles chacun de transporter 10 tonnes de matériel d'où 10x+10y400y-x+40

    Le système d'inéquations traduisant les contraintes est {xyx30 et y35y-53x+50y-x+40.


  2. Montrer que ce système caractérise la partie S.

    • L'ensemble des points M(x;y) du plan dont les coordonnées vérifient x30 sont dans le demi-plan situé à gauche de la droite (BC) d'équation x=30.
    • L'ensemble des points M(x;y) du plan dont les coordonnées vérifient y35 sont dans le demi-plan situé en dessous de la droite (AB) d'équation y=35.
    • L'ensemble des points M(x;y) du plan dont les coordonnées vérifient y-53x+50 sont dans le demi-plan situé en dessus de la droite (AD) d'équation y=-53x+50.
    • L'ensemble des points M(x;y) du plan dont les coordonnées vérifient y-x+40 sont dans le demi-plan situé en dessus de la droite (CD) d'équation y=-x+40.

    Le système d'inéquations {x30 et y35y-53x+50y-x+40 caractérise la partie S de la figure donnée en annexe.


  3. Le coût d'affrètement d'un bateau de type A est de 10 000 € et celui d'un bateau de type B de 7 500 €.
    Soit C le coût total d'affrètement de x bateaux de type A et y bateaux de type B.

    1. Exprimer C en fonction de x et de y.

      C(x;y)=10000x+7500y.


    2. Déterminer une équation de la droite (d) correspondant à un coût total de 450 000 € et représenter la droite (d) sur la figure donnée en annexe.

      10000x+7500y=450000y=-43x+60

      La droite (d) correspondant à un coût total de 450 000 € a pour équation y=-43x+60.


      Surface S: L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      La droite (d) passe par les points de coordonnées (15;40) et (45;0).

    3. Déterminer graphiquement le couple d'entiers (x,y) qui permet d'assurer le transport pour un coût minimum et calculer ce coût. On justifiera la démarche.

      À chaque valeur du coût total d'affrètement C correspond une droite Δ d'équation :10000x+7500y=Cy=-43x+C7500

      Ces droites Δ ont le même coefficient directeur, elles sont parallèles entre elles et coupent l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0;C7500).

      Pour obtenir graphiquement le couple d'entiers (x,y) qui permet d'assurer le transport pour un coût minimum, on cherche la droite parallèle à la droite (d) correspondant à un coût total de 450 000 €, qui contient au moins un point à coordonnées entières de la partie grisée S et dont l'ordonnée à l'origine est la plus petite. Il s'agit de la droite passant par le point D(15;25).

      Surface S: L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      Soit coût total d'affrètement d'un montant de : 10000×15+7500×25=337500

      Le coût minimum du transport est de 337 500 € obtenu en affrétant 15 bateaux de type A et 25 bateaux de type B.



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