Le plan est muni d'un repère orthogonal .
On considère la figure représentée en annexe et on appelle S la partie grisée, bords compris.
On admettra que la droite (CD) a pour équation et que la droite (AD) a pour équation .
Une entreprise veut faire transporter par bateaux au moins 300 véhicules et 400 tonnes de matériel.
Le transporteur maritime auquel elle s'adresse dispose :
On note x le nombre de bateaux de type A et y le nombre de bateaux de type B à affréter pour effectuer ce transport.
Traduire les informations ci-dessus par un système d'inéquations.
Le système d'inéquations traduisant les contraintes est .
Montrer que ce système caractérise la partie S.
Le système d'inéquations caractérise la partie S de la figure donnée en annexe.
Le coût d'affrètement d'un bateau de type A est de 10 000 € et celui d'un bateau de type B de 7 500 €.
Soit C le coût total d'affrètement de x bateaux de type A et y bateaux de type B.
Exprimer C en fonction de x et de y.
.
Déterminer une équation de la droite (d) correspondant à un coût total de 450 000 € et représenter la droite (d) sur la figure donnée en annexe.
La droite (d) correspondant à un coût total de 450 000 € a pour équation .
La droite (d) passe par les points de coordonnées et .
Déterminer graphiquement le couple d'entiers qui permet d'assurer le transport pour un coût minimum et calculer ce coût. On justifiera la démarche.
À chaque valeur du coût total d'affrètement C correspond une droite Δ d'équation :
Ces droites Δ ont le même coefficient directeur, elles sont parallèles entre elles et coupent l'axe des ordonnées au point de coordonnées .
Pour obtenir graphiquement le couple d'entiers qui permet d'assurer le transport pour un coût minimum, on cherche la droite parallèle à la droite (d) correspondant à un coût total de 450 000 €, qui contient au moins un point à coordonnées entières de la partie grisée S et dont l'ordonnée à l'origine est la plus petite. Il s'agit de la droite passant par le point .
Soit coût total d'affrètement d'un montant de :
Le coût minimum du transport est de 337 500 € obtenu en affrétant 15 bateaux de type A et 25 bateaux de type B.
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