contrôle du 15 novembre 2005

Corrigé de l'exercice 3

1. Traduire les informations ci-dessus par un système d'inéquations.

   • Le transporteur maritime dispose de 30 bateaux de type A et de 35 bateaux de type B d'où $x⩽30$ et $y⩽35$
   • L'entreprise veut faire transporter au moins 300 véhicules par bateaux de type A, susceptibles chacun de transporter 10 véhicules ou par bateaux de type B, susceptibles chacun de transporter 6 véhicules d'où $$\begin{array}{lcl}10x+6y⩾300& \iff & y⩾-{\displaystyle \frac{5}{3}}x+50\end{array}$$
   • L'entreprise veut faire transporter au moins 400 tonnes de matériel par bateaux de type A ou B, susceptibles chacun de transporter 10 tonnes de matériel d'où $$\begin{array}{lcl}10x+10y⩾400& \iff & y⩾-x+40\end{array}$$

   Le système d'inéquations traduisant les contraintes est $\{\begin{array}{l}x\in \mathbb{N}\text{, }y\in \mathbb{N}\\ x⩽30\text{ et }y⩽35\\ y⩾-{\displaystyle \frac{5}{3}}x+50\\ y⩾-x+40\end{array}$.

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2. Montrer que ce système caractérise la partie S.

   • L'ensemble des points $M\left(x;y\right)$ du plan dont les coordonnées vérifient $x⩽30$ sont dans le demi-plan situé à gauche de la droite (BC) d'équation $x=30$.
   • L'ensemble des points $M\left(x;y\right)$ du plan dont les coordonnées vérifient $y⩽35$ sont dans le demi-plan situé en dessous de la droite (AB) d'équation $y=35$.
   • L'ensemble des points $M\left(x;y\right)$ du plan dont les coordonnées vérifient $y⩾-{\displaystyle \frac{5}{3}}x+50$ sont dans le demi-plan situé en dessus de la droite (AD) d'équation $y=-{\displaystyle \frac{5}{3}}x+50$.
   • L'ensemble des points $M\left(x;y\right)$ du plan dont les coordonnées vérifient $y⩾-x+40$ sont dans le demi-plan situé en dessus de la droite (CD) d'équation $y=-x+40$.

   Le système d'inéquations $\{\begin{array}{l}x⩽30\text{ et }y⩽35\\ y⩾-{\displaystyle \frac{5}{3}}x+50\\ y⩾-x+40\end{array}$ caractérise la partie S de la figure donnée en annexe.

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3. Le coût d'affrètement d'un bateau de type A est de 10 000 € et celui d'un bateau de type B de 7 500 €.
   Soit C le coût total d'affrètement de x bateaux de type A et y bateaux de type B.

   1. Exprimer C en fonction de x et de y.

      $C\left(x;y\right)=10000x+7500y$.

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   2. Déterminer une équation de la droite (d) correspondant à un coût total de 450 000 € et représenter la droite (d) sur la figure donnée en annexe.

      $$\begin{array}{lcl}10000x+7500y=450000& \iff & y=-{\displaystyle \frac{4}{3}}x+60\end{array}$$

      La droite (d) correspondant à un coût total de 450 000 € a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{4}{3}}x+60$.

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      La droite (d) passe par les points de coordonnées $\left(15;40\right)$ et $\left(45;0\right)$.

   3. Déterminer graphiquement le couple d'entiers $\left(x,y\right)$ qui permet d'assurer le transport pour un coût minimum et calculer ce coût. On justifiera la démarche.

      À chaque valeur du coût total d'affrètement C correspond une droite Δ d'équation :$$\begin{array}{lcl}10000x+7500y=C& \iff & y=-{\displaystyle \frac{4}{3}}x+{\displaystyle \frac{C}{7500}}\end{array}$$

      Ces droites Δ ont le même coefficient directeur, elles sont parallèles entre elles et coupent l'axe des ordonnées au point de coordonnées $\left(0;{\displaystyle \frac{C}{7500}}\right)$.

      Pour obtenir graphiquement le couple d'entiers $\left(x,y\right)$ qui permet d'assurer le transport pour un coût minimum, on cherche la droite parallèle à la droite (d) correspondant à un coût total de 450 000 €, qui contient au moins un point à coordonnées entières de la partie grisée S et dont l'ordonnée à l'origine est la plus petite. Il s'agit de la droite passant par le point $D\left(15;25\right)$.

      Soit coût total d'affrètement d'un montant de : $$10000\times 15+7500\times 25=337500$$

      Le coût minimum du transport est de 337 500 € obtenu en affrétant 15 bateaux de type A et 25 bateaux de type B.

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