contrôle du 12 novembre 2005

Corrigé de l'exercice 2

On considère la fonction affine par morceaux f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=a\left|2-x\right|+bx+c$.

1. Déterminer les réels a, b et c sachant que la courbe représentative de la fonction f est donnée ci-dessous.

   • $A\left(-4;-4\right)$ est un point de la courbe représentative de la fonction f d'où a, b et c sont solutions de l'équation $$\begin{array}{lcl}a\left|2+4\right|-4b+c=-4& \iff & 6a-4b+c=-4\end{array}$$
   • $B\left(2;2\right)$ est un point de la courbe représentative de la fonction f d'où a, b et c sont solutions de l'équation $$\begin{array}{lcl}a\left|2-2\right|+2b+c=2& \iff & 2b+c=2\end{array}$$
   • $C\left(4;12\right)$ est un point de la courbe représentative de la fonction f d'où a, b et c sont solutions de l'équation $$\begin{array}{lcl}a\left|2-4\right|+4b+c=4& \iff & 2a+4b+c=12\end{array}$$

   Ainsi, a, b et c sont solutions du système d'équations : $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{rcr}6a-4b+c& =& -4\\ 2b+c& =& 2\\ 2a+4b+c& =& 12\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rrrr}6a-4b+c& =& -4& \\ 2b+c& =& 2& \\ 16b+2c& =& 40& L_3\leftarrow 3L_3-L_1\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rrrr}6a-4b+c& =& -4& \\ 2b+c& =& 2& \\ 6b& =& 18& L_3\leftarrow {\displaystyle \frac{1}{2}}{L}_3-L_2\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{lcr}a& =& 2\\ c& =& -4\\ b& =& 3\end{array}\end{array}$$

   La fonction f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=2\times \left|2-x\right|+3x-4$.

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2. Exprimer $f\left(x\right)$ sans utiliser la notation valeur absolue.

   méthode 1

   $2-x⩾0\iff x⩽2$. Par conséquent, $\left|2-x\right|=\{\begin{array}{ll}2-x& \text{si }x⩽2\\ x-2& \text{si }x⩾2\end{array}$. D'où :$$\begin{array}{lcl}2\times \left|2-x\right|+3x-4& =& \{\begin{array}{ll}2\times \left(2-x\right)+3x-4& \text{si }x⩽2\\ 2\times \left(x-2\right)+3x-4& \text{si }x⩾2\end{array}\\ & =& \{\begin{array}{ll}x& \text{si }x⩽2\\ 5x-8& \text{si }x⩾2\end{array}\end{array}$$

   La fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}x& \text{si }x⩽2\\ 5x-8& \text{si }x⩾2\end{array}$.

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   méthode 2

   f est une fonction affine par morceaux dont la courbe représentative est constitueé de deux demi-droites

   .

   • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right]$, la courbe représentative de la fonction f passe par les points $A\left(-4;-4\right)$ et $B\left(2;2\right)$.

     $f\left(x\right)=ax+b$ avec $a={\displaystyle \frac{f\left(-4\right)-f\left(2\right)}{-4-2}}=1$ et $2+b=2\iff b=0$. Soit $f\left(x\right)=x$

   • Sur l'intervalle $\left[2;+\infty \right[$, la courbe représentative de la fonction f passe par les points $B\left(2;2\right)$ et $C\left(4;12\right)$.

     $f\left(x\right)=ax+b$ avec $a={\displaystyle \frac{f\left(4\right)-f\left(2\right)}{4-2}}=5$ et $5\times 2+b=2\iff b=-8$. Soit $f\left(x\right)=5x-8$

   Ainsi, f est la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}x& \text{si }x⩽2\\ 5x-8& \text{si }x⩾2\end{array}$.

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