contrôle du 12 novembre 2005

Corrigé de l'exercice 3

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left[-5;6\right]$ par $f\left(x\right)=2\sqrt{{\left(3-x\right)}^2}+\left|x+2\right|-7$.

1. 1. Exprimer $f\left(x\right)$ sans utiliser la notation "racine carré".

      Pour tout réel f, $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$. On en déduit que :

      f est la fonction définie sur l'intervalle $\left[-5;6\right]$ par $f\left(x\right)=2\left|3-x\right|+\left|x+2\right|-7$.

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   2. Exprimer $f\left(x\right)$ sans utiliser la notation valeur absolue.

      $3-x⩾0\iff x⩽3$. Par conséquent, $\left|3-x\right|=\{\begin{array}{ll}3-x& \text{si }x⩽3\\ x-3& \text{si }x⩾3\end{array}$.

      $x+2⩾0\iff x⩾-2$. Par conséquent, $\left|x+2\right|=\{\begin{array}{ll}x+2& \text{si }x⩾-2\\ -x-2& \text{si }x⩽-2\end{array}$.

      Déterminons l'expression de $f\left(x\right)$ l'aide d'un tableau :

      x	$-5$		$-2$		3		6
      $2\left|3-x\right|$	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{16}}$	$2\left(3-x\right)$	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{10}}$	$2\left(3-x\right)$	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	$2\left(x-3\right)$	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{6}}$
      $\left|x+2\right|$	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{3}}$	$-x-2$	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	$x+2$	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{5}}$	$x+2$	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{8}}$
      $2\left|3-x\right|+\left|x+2\right|-7$	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{12}}$	$-3x-3$	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{3}}$	$-x+1$	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{-2}}$	$3x-11$	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{7}}$

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      f est la fonction définie sur l'intervalle $\left[-5;6\right]$ par $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}-3x-3& \text{si }x\in \left[-5;-2\right]\\ -x+1& \text{si }x\in \left[-2;3\right]\\ 3x-11& \text{si }x\in \left[3;6\right]\end{array}$.

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2. Représenter graphiquement la fonction f.

3. Résoudre l'équation $f\left(x\right)=5$.

   La droite d'équation $y=5$ coupe la courbe représentative de la fonction f en deux points nous pouvons chercher les solutions de l’équation $f\left(x\right)=5$ dans chacun des intervalles $\left[-5;-2\right]$ et $\left[3;6\right]$.

   • Sur l'intervalle $\left[-5;-2\right]$ : $$\begin{array}{lcl}f\left(x\right)=5& \iff & -3x-3=5\\ & \iff & x=-{\displaystyle \frac{8}{3}}\end{array}$$
   • Sur l'intervalle $\left[3;6\right]$ : $$\begin{array}{lcl}f\left(x\right)=5& \iff & 3x-11=5\\ & \iff & x={\displaystyle \frac{16}{3}}\end{array}$$

   L'ensemble solution de l'équation $f\left(x\right)=5$ est $S=\left\{-{\displaystyle \frac{8}{3}};{\displaystyle \frac{16}{3}}\right\}$.

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