contrôle du 20 octobre 2006

Corrigé de l'exercice 4

Les coordonnées des points marqués sont entières. La droite $\left(d_2\right)$ a pour équation $x+2y-4=0$.

1. Donner une équation de la droite $\left(d_1\right)$.

   La droite $\left(d_1\right)$ passe par les points de coordonnées $\left(-6;-1\right)$ et $\left(3;5\right)$.

   Son équation réduite est de la forme $y=ax+b$.

   Avec $a={\displaystyle \frac{5-\left(-1\right)}{3-\left(-6\right)}}={\displaystyle \frac{6}{9}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

   et b tel que ${\displaystyle \frac{2}{3}}\times 3+b=5$ soit $b=3$.

   La droite $\left(d_1\right)$ a pour équation $y={\displaystyle \frac{2}{3}}x+3$.

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2. Calculer les coordonnées du point d'intersection des deux droites.

   Les coordonnées $\left(x;y\right)$ du point d'intersection des deux droites sont solutions du système $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{rcl}x+2y-4& =& 0\\ y& =& {\displaystyle \frac{2}{3}}x+3\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}x+2\times \left({\displaystyle \frac{2}{3}}x+3\right)-4& =& 0\\ y& =& {\displaystyle \frac{2}{3}}x+3\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{7}{3}}x+2& =& 0\\ y& =& {\displaystyle \frac{2}{3}}x+3\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}x& =& -{\displaystyle \frac{6}{7}}\\ y& =& {\displaystyle \frac{2}{3}}x+3\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}x& =& -{\displaystyle \frac{6}{7}}\\ y& =& {\displaystyle \frac{17}{7}}\end{array}\end{array}$$

   Le point d'intersection des deux droites a pour coordonnées $\left(-{\displaystyle \frac{6}{7}};{\displaystyle \frac{17}{7}}\right)$.

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