contrôle du 20 octobre 2006

Corrigé de l'exercice 6

Pierre place ses économies d'un montant de 9600 € en trois parties.
On note x le montant en euros de la première partie placée et y celui de la deuxième partie.
Le montant de la troisième partie noté z est la demi-somme des deux autres.
La première partie est placée à 6,5%, la deuxième à 3,5% et la troisième à 4,5%, pendant un an. L'intérêt total produit est 500,30 €

Calculer chacune des trois parties.

Soit x, y et z les montants des tois parties.

- Pierre place ses économies d'un montant de 9600 € en trois parties alors, x, y et z sont solutions de l'équation :$$x+y+z=9600$$

- Le montant de la troisième partie noté z est la demi-somme des deux autres alors, x, y et z sont solutions de l'équation :$$z={\displaystyle \frac{x+y}{2}}$$

- La première partie est placée à 6,5%, la deuxième à 3,5% et la troisième à 4,5%, pendant un an. L'intérêt total produit est 500,30 € alors, x, y et z sont solutions de l'équation :$$\begin{array}{lll}\mathrm{0,065}x+\mathrm{0,035}y+\mathrm{0,045}z=\mathrm{500,3}& \iff & 13x+7y+9z=100060\end{array}$$

Ainsi x, y et z sont solutions du système $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{rcl}x+y+z& =& 9600\\ z& =& {\displaystyle \frac{x+y}{2}}\\ 13x+7y+9z& =& 100060\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}x+y+{\displaystyle \frac{x+y}{2}}& =& 9600\\ 13x+7y+9\times {\displaystyle \frac{x+y}{2}}& =& 100060\\ z& =& {\displaystyle \frac{x+y}{2}}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}3x+3y& =& 19200\\ 35x+23y& =& 200120\\ z& =& {\displaystyle \frac{x+y}{2}}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}x+y& =& 6400\\ 35x+23y& =& 200120\\ z& =& {\displaystyle \frac{x+y}{2}}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}y& =& 6400-x\\ 35x+23\times \left(6400-x\right)& =& 200120\\ z& =& 3200\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}y& =& 6400-x\\ 12x& =& 52920\\ z& =& 3200\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}x& =& 4410\\ y& =& 1990\\ z& =& 3200\end{array}\end{array}$$

Les montants des trois parties sont : 4410 €, 1990 € et 3200 €.

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