contrôle du 20 octobre 2006

Corrigé de l'exercice 5

Un automobiliste effectue un trajet entre deux villes. Ce trajet est composé de portions de routes nationales et d'autoroutes.
Sur route nationale, son véhicule consomme en moyenne 5,6 L de carburant pour 100 km parcourus, et sur autoroute la consommation est en moyenne de 7,2 L pour 100 km parcourus.
Le trajet est constitué de 80% de routes nationales et pour effectuer la totalité du trajet, il a utilisé 14,8 L de carburant.
On note x la distance parcourue sur routes nationales et y la distance parcourue sur autoroutes, en km.

1. Expliquer pourquoi x et y sont solutions du système $\{\begin{array}{rcl}7x+9y& =& 1850\\ x& =& 4y\end{array}$.

   La consommation sur route nationale est de 5,6 L de carburant pour 100 km parcourus, et sur autoroute de 7,2 L pour 100 km parcourus. Alors, la consommation totale exprimée en litres pour le trajet est de ${\displaystyle \frac{\mathrm{5,6}x}{100}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{7,2}y}{100}}$

   Or la consommation pour le trajet est de 14,8 L de carburant. Donc x et y sont solutions de l'équation $$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{\mathrm{5,6}x}{100}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{7,2}y}{100}}=\mathrm{14,8}& \iff & 7x+9y=1850\end{array}$$

   Le trajet est constitué de 80% de routes nationales et de 20% d'autoroutes. Donc $x=4y$

   Ainsi, x et y sont solutions du système $\{\begin{array}{rcl}7x+9y& =& 1850\\ x& =& 4y\end{array}$.

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2. Calculer les distances parcourues sur autoroute et sur routes nationales, puis la longueur du trajet.

   Les distances parcourues sur autoroute et sur routes nationales sont solutions du système : $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{rcl}7x+9y& =& 1850\\ x& =& 4y\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}7\times \left(4y\right)+9y& =& 1850\\ x& =& 4y\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}37y& =& 1850\\ x& =& 4y\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}y& =& 50\\ x& =& 4y\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}y& =& 50\\ x& =& 200\end{array}\end{array}$$

   Le trajet est constitué de 200 km sur routes nationales et de 50 km sur autoroute. Soit un parcours de 250 km.

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