contrôle du 22 septembre 2009

Corrigé de l'exercice 1

Les questions suivantes sont indépendantes.

1. Quel coefficient multiplicateur correspond à une baisse de 18 % ? même question pour une hausse de 94,12%.

   Le coefficient multiplicateur associé à un pourcentage d'évolution de t % est égal à $$1+{\displaystyle \frac{t}{100}}$$

   Par conséquent

   • Le coefficient multiplicateur qui correspond à une baisse de 18 % est égal à $1-{\displaystyle \frac{18}{100}}=\mathrm{0,82}$

   • Le coefficient multiplicateur qui correspond à une une hausse de 94,12% est égal à $1+{\displaystyle \frac{\mathrm{94,12}}{100}}=\mathrm{1,9412}$

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2. À quel pourcentage d'évolution correspond un coefficient multiplicateur de 1,206 ? de 2,15 ? de 0,79 ?

   $$\begin{array}{ccccc}1+{\displaystyle \frac{t}{100}}=\mathrm{1,206}\iff {\displaystyle \frac{t}{100}}=\mathrm{0,206}& \text{;}& 1+{\displaystyle \frac{t}{100}}=\mathrm{2,15}\iff {\displaystyle \frac{t}{100}}=\mathrm{1,15}& \text{;}& 1+{\displaystyle \frac{t}{100}}=\mathrm{0,79}\iff {\displaystyle \frac{t}{100}}=-\mathrm{0,21}\end{array}$$

   Le coefficient multiplicateur 1,206 correspond à une hausse de 20,6%. Le coefficient multiplicateur 2,15 correspond à une hausse de 115%. Le coefficient multiplicateur 0,79 correspond à une baisse de 21%

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3. Après une réduction de 12 %, un article valait 138,60 €. Quel était son prix initial ?

   Le coefficient multiplicateur associé à une réduction de 12 % est :$$1-{\displaystyle \frac{12}{100}}=\mathrm{0,88}$$

   Diminuer un prix de 12% revient à multiplier ce prix par 0,88.

   Soit x le montant en euros, du prix initial. Alors x est solution de l'équation : $$\begin{array}{ccc}\mathrm{0,88}x=\mathrm{138,6}& \iff & x={\displaystyle \frac{\mathrm{138,6}}{\mathrm{0,88}}}=\mathrm{157,5}\end{array}$$

   Avant la remise, le prix de l'article était de 157,50€.

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4. En 2007, 49% des ménages français ont une connexion Internet, dont 86% de type ADSL. Quel était le pourcentage des ménages français équipés d'une connexion ADSL ?

   86% des 49% des ménages français ont une connexion ADSL : $\mathrm{0,86}\times \mathrm{0,49}=\mathrm{0,4214}$

   En 2007, 42,14% des ménages étaient équipés d'une connexion Internet de type ADSL.

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5. Le prix d'un article augmente de 8% puis diminue de 8%. Quel est le pourcentage d'évolution du prix de cet article ?

   Les coefficients multiplicateurs associés respectivement à une augmentation de 8% et une baisse de 8% sont : $$\begin{array}{ccc}1+{\displaystyle \frac{8}{100}}=\mathrm{1,08}& \text{et}& 1-{\displaystyle \frac{8}{100}}=\mathrm{0,92}\end{array}$$

   Un article dont le prix augmente de 8% puis diminue de 8% a son prix initial multiplié successivement par 1,08 et 0,92.

   Soit $V_0$ la valeur initiale de l'article, la valeur $V_1$ de cet article après les deux variations successives est : $$\begin{array}{ccc}{V}_1=\left(V_0\times \mathrm{1,08}\right)\times \mathrm{0,92}& \iff & V_1=V_0\times \mathrm{0,9936}\end{array}$$

   Soit t %, le pourcentage d'évolution global associé aux deux variations successives : $$1+{\displaystyle \frac{t}{100}}=\mathrm{0,9936}\iff {\displaystyle \frac{t}{100}}=-\mathrm{0,0064}$$

   Donc le prix de l'article a finalement baissé de 0,64%.

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