contrôle du 22 septembre 2009

Corrigé de l'exercice 5

En France, de décembre 2005 à décembre 2006, les prix des logements anciens ont augmenté de 10 % puis, de décembre 2006 à décembre 2007, les prix ont augmenté de 5,7 % et de décembre 2007 à décembre 2008, les prix ont diminué de 3%.

1. Calculer le pourcentage d'évolution du prix des logements anciens de décembre 2005 à décembre 2008.

   Les coefficients multiplicateurs associés aux différents pourcentages d'évolution sont : $$\begin{array}{ccccc}1+{\displaystyle \frac{10}{100}}=\mathrm{1,1}& \text{;}& 1+{\displaystyle \frac{\mathrm{5,7}}{100}}=\mathrm{1,057}& \text{et}& 1-{\displaystyle \frac{3}{100}}=\mathrm{0,97}\end{array}$$

   Notons $I_1$ l'indice des prix des logements anciens en décembre 2005. L'indice $I_2$ des prix des logements anciens en décembre 2008 est : $$\begin{array}{ccc}{I}_2=\left[\left(I_1\times \mathrm{1,1}\right)\times \mathrm{1,057}\right]\times \mathrm{0,97}& \iff & I_2=I_1\times \mathrm{1,127819}\end{array}$$

   Soit t %, le pourcentage d'évolution global associé aux variations successives du prix des logements anciens. Nous avons donc : $$1+{\displaystyle \frac{t}{100}}=\mathrm{1,127819}\iff {\displaystyle \frac{t}{100}}=\mathrm{0,127819}$$

   De décembre 2005 à décembre 2008, les prix des logements anciens ont augmenté de 12,8 %

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2. Au cours du premier semestre 2009, les prix des logements anciens ont encore diminué de 6,6%.
   Quel devra être le pourcentage d'évolution du prix des logements anciens au cours du deuxième semestre 2009 pour retrouver le prix de décembre 2005 ?

   Le coefficient multiplicateurs associé à une baisse de 6,6% est $$1-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,6}}{100}}=\mathrm{0,934}$$

   Soit t% le pourcentage d'évolution du prix des logements anciens au cours du deuxième semestre 2009 pour retrouver le prix de décembre 2005. t est solution de $$\begin{array}{lll}{I}_1=I_1\times \mathrm{1,128}\times \mathrm{0,934}\times \left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)& \iff & \left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,128}\times \mathrm{0,934}}}\\ & \iff & {\displaystyle \frac{t}{100}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,128}\times \mathrm{0,934}}}-1\\ & \text{Soit}& {\displaystyle \frac{t}{100}}\approx -\mathrm{0,051}\end{array}$$

   Au cours du deuxième semestre 2009, les prix des logements anciens devront encore diminué de 5,1% pour retrouver le prix de décembre 2005.

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