contrôle du 29 janvier 2010

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=-6x^2+{\displaystyle \frac{x}{2}}+1$.

1. Donner le tableau des variations de la fonction f .

   f est une fonction polynôme du second degré avec $a=-6$, $b={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $c=1$.
   Le maximum de la fonction f est atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$, soit $x={\displaystyle \frac{1}{24}}$
   et $f\left({\displaystyle \frac{1}{24}}\right)=-6\times {\left({\displaystyle \frac{1}{24}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{1}{48}}+1={\displaystyle \frac{97}{96}}$.
   Le tableau des variations de la fonction f est donc :

   x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{1}{24}}$		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			$\frac{97}{96}$

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2. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-2\right)=-4$ et $g\left(1\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Déterminer l'expression de g en fonction de x.

   g est une fonction affine alors pour tout réel x, $g\left(x\right)=ax+b$ avec : $$\begin{array}{lll}a={\displaystyle \frac{g\left(1\right)-g\left(-2\right)}{1-\left(-2\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}+4}{1+2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

   D'où $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}\left(x-1\right)+g\left(1\right)$. Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}g\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}\left(x-1\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & g\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}x-1\end{array}$$

   Ainsi, g est la fonction définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}x-1$

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3. Résoudre dans $ℝ$, l'inéquation $f\left(x\right)⩾g\left(x\right)$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)⩾g\left(x\right)& \iff & -6x^2+{\displaystyle \frac{x}{2}}+1⩾{\displaystyle \frac{3}{2}}x-1\\ & \iff & -6x^2+{\displaystyle \frac{x}{2}}+1-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+1⩾0\\ & \iff & -6x^2-x+2⩾0\end{array}$$

   Étudions le signe du polynôme du second degré $-6x^2-x+2$ avec $a=-6$, $b=-1$ et $c=2$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=1+48=49\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{1-7}{-12}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{1+7}{-12}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$$

   Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de $-6x^2-x+2$ suivant les valeurs du réel x :

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{2}{3}}$		${\displaystyle \frac{1}{2}}$		$+\infty$
   Signe de $-6x^2-x+2$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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   Ainsi, $f\left(x\right)⩾g\left(x\right)\iff x\in \left[-{\displaystyle \frac{2}{3}};{\displaystyle \frac{1}{2}}\right]$

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