contrôle du 07 mai 2010

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur $\left]-3;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2+x-2}{2x+6}}$. Sa courbe représentative dans un repère du plan, notée $C_f$, est donnée en annexe ci-dessous.

1. 1. Calculer $\underset{\begin{array}{c}x\to -3\\ x>-3\end{array}}{\lim }f\left(x\right)$ . Interpréter graphiquement ce résultat.

      $\underset{x\to {-3}^{+}}{\lim }{x}^2+x-2=4$ et $\underset{x\to {-3}^{+}}{\lim }2x+6=0^{+}$ ( $x>-3\iff 2x+6>0$ ) alors par quotient, $\underset{x\to {-3}^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2+x-2}{2x+6}}=+\infty$.

      Ainsi, $\underset{x\to {-3}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$, donc la droite d'équation $x=-3$ est asymptote à la courbe ${𝒞}_f$.

      ---

   2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2+x-2}{2x+6}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{2x}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x}{2}}=+\infty$

      Donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

      ---

   3. Montrer que la courbe $C_f$ admet pour asymptote la droite d'équation $y={\displaystyle \frac{x}{2}}-1$.

      Pour montrer que la courbe $C_f$ admet une deuxième asymptote d'équation $y={\displaystyle \frac{x}{2}}-1$, on étudie, la limite en $+\infty$ de la différence $f\left(x\right)-\left({\displaystyle \frac{x}{2}}-1\right)$. Or pour tout réel $x>-3$, $$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{x^2+x-2}{2x+6}}-\left({\displaystyle \frac{x}{2}}-1\right)& =& {\displaystyle \frac{x^2+x-2}{2x+6}}-{\displaystyle \frac{x-2}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x^2+x-2-\left(x-2\right)\left(x+3\right)}{2x+6}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x^2+x-2-\left(x^2+3x-2x-6\right)}{2x+6}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x^2+x-2-x^2-x+6}{2x+6}}\\ & =& {\displaystyle \frac{4}{2x+6}}\end{array}$$

      Or $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{4}{2x+6}}=0$

      Ainsi $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)-\left({\displaystyle \frac{x}{2}}-1\right)=0$ donc la droite d'équation $y={\displaystyle \frac{x}{2}}-1$, est asymptote à la courbe ${𝒞}_f$ en $+\infty$.

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2. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$

      Sur l'intervalle $\left]-3;+\infty \right[$, $2x+6\ne 0$, alors la fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $$\begin{array}{ccc}f={\displaystyle \frac{u}{v}}& \text{d'où}& f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}\end{array}$$

      Avec u et v fonctions définies sur l'intervalle $\left]-3;+\infty \right[$ par : $$\begin{array}{llll}& u\left(x\right)=x^2+x-2& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=2x+1\\ \text{et}& v\left(x\right)=2x+6& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2\end{array}$$

      donc pour tout réel x de l'intervalle $\left]-3;+\infty \right[$ : $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(2x+1\right)\left(2x+6\right)-2\times \left(x^2+x-2\right)}{{\left(2x+6\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{4x^2+12x+2x+6-2x^2-2x+4}{{\left(2x+6\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2x^2+12x+10}{{\left(2x+6\right)}^2}}\end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $\left]-3;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2+12x+10}{{\left(2x+6\right)}^2}}$

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   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$

      Pour tout réel $x>-3$, ${\left(2x+6\right)}^2>0$, donc $f\prime \left(x\right)$ est du même que le polynôme $P\left(x\right)=2x^2+12x+10$ sur l'intervalle $\left]-3;+\infty \right[$.

      Étude du signe du polynôme du second degré $P\left(x\right)=2x^2+12x+10$ avec $a=2$, $b=12$ et $c=10$

      $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit $\mathrm{\Delta }=144-4\times 2\times 10=64$ , le polynôme admet deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}\\ \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-12-8}{4}}=-5& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-12+8}{4}}=-1\end{array}$$

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines, nous pouvons donc déduire le tableau donnant le signe de $f\prime$ sur l'intervalle $\left]-3;+\infty \right[$

      x	$-3$				− 1		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   3. Donner le tableau des variations de f.

      Les variations de f, se déduisent de l'étude du signe de la dérivée f '

      x	$-3$				$-1$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$			$+\infty$		$-\frac{1}{2}$		$+\infty$

      ---

      Calcul du minimum : $$f\left(-1\right)={\displaystyle \frac{1-1-2}{-2+6}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$

3. Donner une équation de la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse − 2.

   Une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse − 2 est :$$y=f\prime \left(-2\right)\times \left(x+2\right)+f\left(-2\right)$$

   Or $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(-2\right)={\displaystyle \frac{8-24+10}{{\left(-4+6\right)}^2}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}& \text{et}& f\left(-2\right)={\displaystyle \frac{4-2-2}{2}}=0\end{array}$$

   D'où $$\begin{array}{ccc}y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\left(x+2\right)& \iff & y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x-3\end{array}$$

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point au point d'abscisse − 2 a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x-3$.

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4. Tracer sur le graphique donné en annexe, les asymptotes à la courbe ${𝒞}_f$ ainsi que la tangente T.

   • La droite d'équation $y={\displaystyle \frac{x}{2}}-1$ passe par les points de coordonnées $\left(0;-1\right)$ et $\left(0;4\right)$.
   • La tangente T d'équation $y=y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x-3$ passe par les points de coordonnées $\left(0;-2\right)$ et $\left(-3;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$.

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