contrôle du 07 mai 2010

Corrigé de l'exercice 3

Soit C la fonction définie pour tout x élément de l'intervalle $\left]0;10\right]$ par : $C\left(x\right)=\mathrm{0,2}{x}^3-2x^2+9x+6$.
La fonction C modélise le coût total de production, exprimé en milliers d'euros, de x milliers d'articles fabriqués. La courbe représentative de la fonction C est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal.
Le prix de vente de chaque article produit est égal à 8,35 €.

1. On note $R\left(x\right)$ la recette générée par la production et la vente de x milliers d'articles.

   1. Dans le repère précédent, tracer la courbe représentative de la fonction recette.

      Le prix de vente de chaque article produit est égal à 8,35 €. Le montant en milliers d'euros, de la recette exprimée générée par la vente de x milliers d'articles est : $$R\left(x\right)=\mathrm{8,35}x$$ La courbe représentative de la fonction recette est la droite passant par l'origine du repère et le point de coordonnées $\left(10;\mathrm{83,5}\right)$.

   2. Déterminer graphiquement la quantité x que l'entreprise doit produire pour maximiser son profit.

      Graphiquement, le bénéfice est maximal lorsque la courbe de la fonction recette R est au dessus de la courbe de coût de production et que la distance entre la courbe de la fonction recette R et la courbe de coût de production C est maximale. Soit avec la précision permise par le graphique, pour une production d'environ 6,5 milliers d'articles .

      Par lecture graphique, le bénéfice maximum est obtenu pour la production et la vente de 6500 articles.

      ---

2. Le bénéfice est la fonction B définie sur l'intervalle $\left]0;10\right]$ par $B\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right)$.

   1. Calculer $B\prime \left(x\right)$

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;10\right]$, $$R\left(x\right)-C\left(x\right)=\mathrm{8,35}x-\left(\mathrm{0,2}{x}^3-2x^2+9x+6\right)=-\mathrm{0,2}{x}^3+2x^2-\mathrm{0,65}x-6$$

      Le bénéfice est la fonction B définie sur l'intervalle $\left]0;10\right]$ par $B\left(x\right)=-\mathrm{0,2}{x}^3+2x^2-\mathrm{0,65}x-6$. D'où $$\begin{array}{ccc}B\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,2}\times 3x^2+2\times 2x-\mathrm{0,65}& \iff & B\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,6}{x}^2+4x-\mathrm{0,65}\end{array}$$

      Ainsi, $B\prime$ est la fonction définie sur $\left]0;10\right]$ par $B\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,6}{x}^2+4x-\mathrm{0,65}$

      ---

   2. Étudier les variations de la fonction B.

      Les variations de B, se déduisent de l'étude du signe de la dérivée B '

      Étudions le signe du polynôme du second degré $P\left(x\right)=-\mathrm{0,6}{x}^2+4x-\mathrm{0,65}$ avec $a=-\mathrm{0,6}$, $b=4$ et $c=-\mathrm{0,65}$

      $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit $\mathrm{\Delta }=16-4\times \left(-\mathrm{0,6}\right)\times \left(-\mathrm{6,5}\right)=\mathrm{14,44}$ , le polynôme admet deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}\\ \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-4-\mathrm{3,8}}{-\mathrm{1,2}}}=\mathrm{6,5}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-4+\mathrm{3,8}}{-\mathrm{1,2}}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\end{array}$$

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines, nous pouvons donc déduire le tableau donnant le signe de $B\prime$ et les variations de B sur l'intervalle $\left]0;10\right]$.

      x	0					${\displaystyle \frac{1}{6}}$		6,5		10
      $B\prime \left(x\right)$					−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $B\left(x\right)$				− 0,65						− 12,5

      ---

   3. En déduire la production $x_0$ pour laquelle le bénéfice est maximal. Quel est le montant en euro de ce bénéfice maximal ?

      D'après le tableau des variations de la fonction B sur l'intervalle $\left]0;10\right]$, le bénéfice est maximal pour une production $x_0=\mathrm{6,5}$. D'autre part, $$B\left(\mathrm{6,5}\right)=-\mathrm{0,2}\times {\mathrm{6,5}}^3+2\times {\mathrm{6,5}}^2-\mathrm{0,65}\times \mathrm{6,5}-6=\mathrm{19,35}$$

      Le bénéfice maximal est de 19350 € avec une production de 6500 articles.

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

programme antérieur à 2019 : ------- Liste des thèmes disponibles -------Part en pourcentagePourcentage d'évolutionIndicesSystème à deux inconnuesSystème à trois inconnuesSystème d'inéquationsFonctions généralitésFonctions associéesComposée de deux fonctionsFonctions de référenceSecond degré : fonctionsSecond degré : équation, inéquationSecond degré : applicationsStatistiqueProbabilitéVariable aléatoireLoi binomialeDérivée : lecture graphiqueDérivée d'une fonctionDérivée et variationLimites et dérivées : lecture graphiqueÉtude de fonctions (limites)SuitesFonctions affines par morceauxGéométrie dans l'espace (I)Équations de plansMatrices : calculsMatrices : Système d'équationMatrices : application à l'économieMatrices de transition

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.