contrôles en première ES

contrôle du 07 mai 2010

thèmes :

  • Dérivée et sens de variation.
  • Limites et asymptotes.

exercice 1

La courbe Cf ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur . On note f la dérivée de la fonction f. On sait que :

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

À partir du graphique et des renseignements fournis :

  1. Déterminer limx-fx et limx+fx.

  2. Déterminer f0 et f2.


exercice 2

Soit f la fonction définie sur -3+ par fx=x2+x-22x+6. Sa courbe représentative dans un repère du plan, notée Cf, est donnée en annexe ci-dessous.

    1. Calculer limx-3x>-3fx . Interpréter graphiquement ce résultat.

    2. Calculer limx+fx

    3. Montrer que la courbe Cf admet pour asymptote la droite d'équation y=x2-1.

  1. On note f la dérivée de la fonction f.

    1. Calculer fx

    2. Étudier le signe de fx

    3. Donner le tableau des variations de f.

  2. Donner une équation de la tangente T à la courbe 𝒞f au point d'abscisse − 2.

  3. Tracer sur le graphique donné en annexe, les asymptotes à la courbe 𝒞f ainsi que la tangente T.

ANNEXE

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

exercice 3

Soit C la fonction définie pour tout x élément de l'intervalle 010 par : Cx=0,2x3-2x2+9x+6.
La fonction C modélise le coût total de production, exprimé en milliers d'euros, de x milliers d'articles fabriqués. La courbe représentative de la fonction C est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal.

Courbe représentative de la fonction coût : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Le prix de vente de chaque article produit est égal à 8,35 €.

  1. On note Rx la recette générée par la production et la vente de x milliers d'articles.

    1. Dans le repère précédent, tracer la courbe représentative de la fonction recette.

    2. Déterminer graphiquement la quantité x que l'entreprise doit produire pour maximiser son profit.

  2. Le bénéfice est la fonction B définie sur l'intervalle 010 par Bx=Rx-Cx.

    1. Calculer Bx

    2. Étudier les variations de la fonction B.

    3. En déduire la production x0 pour laquelle le bénéfice est maximal.
      Quel est le montant en euro de ce bénéfice maximal ?


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