contrôle du 28 mai 2013

Corrigé de l'exercice 1

1. Placer sur le cercle trigonométrique les points A, B, C et D repérés respectivement par les réels $-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$, $-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$, ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$ et ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.

2. Donner les coordonnées des quatre points.

   Soit M un point du cercle trigonométrique repéré par le réel x, alors les coordonnées du point M sont $M\left(\cos x;\sin x\right)$

   • $-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}-\pi$. D'où : $$\begin{array}{ccc}\cos \left(-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}-\pi \right)=-\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{et}& \sin \left(-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)=\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}-\pi \right)=-\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}$$

     Le point A a pour coordonnées $A\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}};-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$.

     ---

   • $-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\pi$. D'où : $$\begin{array}{ccc}\cos \left(-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\pi \right)=-\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}& \text{et}& \sin \left(-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)=\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\pi \right)=-\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}$$

     Le point B a pour coordonnées $B\left(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}};-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)$.

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   • ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}=\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$. D'où : $$\begin{array}{ccc}\cos \left({\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\right)=\cos \left(\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=-\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& \text{et}& \sin \left(-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\right)=\sin \left(\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

     Le point C a pour coordonnées $C\left(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}};{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$.

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   • $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

     Le point D a pour coordonnées $D\left({\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$.

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